# Séries entières : exercices corrigés avec solutions > 12 exercices corrigés sur les séries entières : rayon et intervalle de convergence, étude des bornes et séries construites à partir de 1/(1 − x). Source : https://practicecalculus.com/fr/exercices-corriges/exercices-series-entieres Mis à jour : 2026-11-06 $$ \frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^{\infty}x^n, \quad |x| < 1 $$ ## En bref - **Exercices:** 12, avec réponses et solutions complètes - **Niveau:** Analyse 2 et AP Calculus BC, unité 10 - **Prérequis:** Le [critère de d'Alembert](/rules/ratio-test) et les autres [critères de convergence](/practice-problems/convergence-tests) - **Idée principale:** Utiliser le critère de d'Alembert pour le rayon, puis étudier chaque borne séparément - **S'entraîner avec de nouveaux nombres:** [Leçon sur les séries entières et le rayon](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/power-series-and-radius) ## À retenir - Appliquez le critère de d'Alembert à $|a_n(x - c)^n|$ et résolvez « limite $< 1$ » en $x$ pour obtenir le rayon. - Le critère de d'Alembert ne conclut pas aux bornes de l'intervalle. Remplacez la variable par chaque borne et étudiez la série obtenue avec un autre critère. - Construisez de nouvelles séries à partir de $\frac{1}{1 - x}$ par substitution, multiplication par des puissances de $x$, dérivation ou intégration. Le rayon reste le même. Ces **exercices sur les séries entières** portent sur le rayon et l'intervalle de convergence, l'étude des bornes et la construction de nouvelles séries à partir de la série géométrique. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses viennent en premier, puis les solutions complètes. Les deux outils : $$\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < 1 \quad\text{pour le rayon}, \qquad \frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^{\infty}x^n \quad\text{pour construire des séries}$$ Pour d'autres exemples, lisez le [guide des séries entières](/blog/power-series). ## Exercices **Rayon et intervalle de convergence** 1. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$ 2. $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$ 3. $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}n!\,x^n$ 4. $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x - 2)^n}{3^n}$ 5. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2}$ 6. $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{4^n}$ 7. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n(x + 1)^n$ 8. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x - 1)^n}{n}$ **Construire des séries** 9. Trouvez une série entière pour $\dfrac{1}{1 - 3x}$ et son rayon. 10. Trouvez une série entière pour $\dfrac{x}{1 + x^2}$ et son rayon. 11. Dérivez $\frac{1}{1 - x}$ pour obtenir une série de $\frac{1}{(1 - x)^2}$. Utilisez-la pour calculer $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}$. 12. Intégrez une série de $\frac{1}{1 + x}$ pour obtenir une série de $\ln(1 + x)$. ## Réponses | Exercice | Rayon | Intervalle ou réponse | | --- | --- | --- | | 1 | $1$ | $[-1, 1)$ | | 2 | $\infty$ | $(-\infty, \infty)$ | | 3 | $0$ | Seulement $x = 0$ | | 4 | $3$ | $(-1, 5)$ | | 5 | $1$ | $[-1, 1]$ | | 6 | $2$ | $(-2, 2)$ | | 7 | $1$ | $(-2, 0)$ | | 8 | $\frac{1}{2}$ | $[0, 1)$ | | 9 | $\frac{1}{3}$ | $\sum 3^n x^n$ | | 10 | $1$ | $\sum(-1)^n x^{2n+1}$ | | 11 | $1$ | $\sum n x^{n-1}$ ; la somme vaut $2$ | | 12 | $1$ | $\sum\frac{(-1)^{n+1}x^n}{n}$ | ## Solutions détaillées **1.** Rapport : $\left|\frac{x^{n+1}}{n + 1}\cdot\frac{n}{x^n}\right| = \frac{n}{n + 1}|x| \to |x|$. Donc $|x| < 1$ et $R = 1$. En $x = 1$ : $\sum\frac{1}{n}$ diverge. En $x = -1$ : $\sum\frac{(-1)^n}{n}$ converge d'après le critère des séries alternées. Intervalle $[-1, 1)$. **2.** Rapport : $\frac{|x|}{n + 1} \to 0 < 1$ pour tout $x$. Donc $R = \infty$. C'est la série de $e^x$. **3.** Rapport : $(n + 1)|x| \to \infty$ pour tout $x \neq 0$. La série ne converge qu'en son centre. **4.** C'est une série géométrique de raison $\frac{x - 2}{3}$. Elle converge quand $|x - 2| < 3$, c'est-à-dire $-1 < x < 5$. Aux deux bornes, les termes valent $(\pm 1)^n$, qui ne tendent pas vers $0$, donc la série diverge aux deux bornes. **5.** Rapport : $\frac{n^2}{(n + 1)^2}|x| \to |x|$, donc $R = 1$. En $x = \pm 1$, $\sum\frac{(\pm 1)^n}{n^2}$ converge absolument, puisque $\sum\frac{1}{n^2}$ converge. Les deux bornes sont incluses. **6.** C'est une série géométrique de raison $-\frac{x^2}{4}$. Elle converge quand $\frac{x^2}{4} < 1$, c'est-à-dire $|x| < 2$. En $x = \pm 2$, les termes valent $(-1)^n$, et la série diverge. **7.** Rapport : $\frac{n + 1}{n}|x + 1| \to |x + 1|$, donc la série converge pour $|x + 1| < 1$, c'est-à-dire $-2 < x < 0$. Aux deux bornes, les termes $n(\pm 1)^n$ croissent, donc la série diverge aux deux bornes. **8.** Rapport : $\frac{n}{n + 1}|2x - 1| \to |2x - 1|$. Résolvez $|2x - 1| < 1$ : $0 < x < 1$, avec pour centre $\frac{1}{2}$ et $R = \frac{1}{2}$. En $x = 1$ : $\sum\frac{1}{n}$ diverge. En $x = 0$ : $\sum\frac{(-1)^n}{n}$ converge. Intervalle $[0, 1)$. **9.** Remplacez $x$ par $3x$ dans la série géométrique : $$\frac{1}{1 - 3x} = \sum_{n=0}^{\infty}(3x)^n = \sum_{n=0}^{\infty}3^n x^n, \quad |3x| < 1 \Rightarrow R = \frac{1}{3}$$ **10.** Remplacez $x$ par $-x^2$, puis multipliez par $x$ : $$\frac{x}{1 + x^2} = x\sum_{n=0}^{\infty}(-x^2)^n = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^{2n+1}, \quad |x| < 1$$ **11.** Dérivez les deux membres de $\frac{1}{1 - x} = \sum x^n$ : $$\frac{1}{(1 - x)^2} = \sum_{n=1}^{\infty}n x^{n-1}$$ Multipliez par $x$ : $\sum n x^n = \frac{x}{(1 - x)^2}$. En $x = \frac{1}{2}$, cela donne $\frac{1/2}{1/4} = 2$. **12.** $\frac{1}{1 + x} = \sum(-1)^n x^n$. Intégrez de $0$ à $x$ : $$\ln(1 + x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{n+1}}{n + 1} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$$ Un décalage d'indice donne la forme du tableau. Le rayon reste égal à $1$. ## Erreurs fréquentes sur ces exercices - **Oublier les bornes.** Les exercices 1, 5 et 8 ont tous $R = 1$ ou $R = \frac{1}{2}$, mais un comportement différent aux bornes. - **Oublier le centre.** Dans l'exercice 4, le centre est $2$, donc l'intervalle est $2 \pm 3$, et non $\pm 3$. - **Un mauvais rayon à cause de $2x$.** Dans l'exercice 8, $|2x - 1| < 1$ signifie $|x - \frac{1}{2}| < \frac{1}{2}$, donc $R = \frac{1}{2}$, et non $1$. - **Garder $x$ dans la limite.** Dans le critère de d'Alembert, $|x|$ est une constante. Calculez la limite en $n$, puis résolvez en $x$. ## Continuer à s'entraîner Pour des séries illimitées avec une correction immédiate, essayez la [leçon sur les séries entières et le rayon](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/power-series-and-radius). Ensuite, apprenez à construire la série de n'importe quelle fonction avec les [exercices sur les séries de Taylor](/practice-problems/taylor-series). ## Questions fréquentes ### Quelle est la différence entre rayon et intervalle de convergence ? Le rayon $R$ indique jusqu'à quelle distance du centre la série converge. L'intervalle est l'ensemble exact des valeurs de $x$, en précisant quelles bornes en font partie. Deux séries de même rayon peuvent avoir des intervalles différents, comme le montrent les exercices 1 et 5. ### Pourquoi faut-il étudier les bornes séparément ? À une borne, la limite du critère de d'Alembert vaut exactement $1$, ce qui ne donne aucune information. La série devient une série numérique ordinaire, qui peut converger ou diverger. ### Dériver une série entière change-t-il le rayon ? Non. Dériver ou intégrer terme à terme conserve le même rayon. Le comportement aux bornes peut en revanche changer, donc vérifiez-les à nouveau.