# Sommes de Riemann : exercices corrigés avec solutions

> 10 exercices corrigés sur les sommes de Riemann : rectangles à gauche, à droite, point milieu, trapèzes, tableaux, excès ou défaut et limites de sommes.

Source : https://practicecalculus.com/fr/exercices-corriges/exercices-sommes-de-riemann
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \int_a^b f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x, \quad \Delta x = \frac{b-a}{n} $$

## En bref

- **Exercices:** 10, avec réponses et solutions complètes
- **Niveau:** Analyse 1 et AP Calculus AB, unité 6
- **Prérequis:** Calculer les valeurs d'une fonction et utiliser le symbole somme
- **Idée principale:** Additionner les aires de rectangles fins : hauteur fois largeur
- **S'entraîner avec de nouveaux nombres:** [Leçon sur les sommes de Riemann](/learn/calculus-1/integrals/riemann-sums)

## À retenir

- Calculez d'abord $\Delta x = \frac{b-a}{n}$, puis listez les points d'évaluation avant de calculer quoi que ce soit.
- Pour une fonction croissante, la somme à gauche donne une valeur par défaut et la somme à droite une valeur par excès. Pour une fonction décroissante, c'est l'inverse.
- Une limite de sommes de Riemann est une intégrale définie. Lisez $\Delta x$ et la fonction pour trouver l'intégrale.

Ces **exercices sur les sommes de Riemann** portent sur les sommes à gauche, à droite, du point milieu et des trapèzes, les tableaux à pas irréguliers, les estimations par excès et par défaut, et le passage d'une limite de sommes à une intégrale. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses viennent en premier, puis les solutions complètes.

La mise en place de base :

$$\Delta x = \frac{b-a}{n}, \qquad \text{somme} = \Delta x\,\big(f(x_1^*) + f(x_2^*) + \cdots + f(x_n^*)\big)$$

Les sommes à gauche utilisent l'extrémité gauche de chaque morceau, les sommes à droite l'extrémité droite, et les sommes du point milieu le milieu. Pour les idées sous-jacentes, lisez le [guide des sommes de Riemann](/blog/riemann-sums).

## Exercices

**Une fonction, quatre méthodes.** Utilisez $f(x) = x^2$ sur $[0, 2]$ avec $n = 4$.

1. Calculez la somme de Riemann à gauche $L_4$.
2. Calculez la somme de Riemann à droite $R_4$.
3. Calculez la somme du point milieu $M_4$.
4. Calculez la somme des trapèzes $T_4$, et comparez les quatre avec la valeur exacte $\int_0^2 x^2\,dx = \frac{8}{3}$.

**Par excès ou par défaut**

5. Calculez la somme à gauche $L_4$ pour $f(x) = \frac{1}{x}$ sur $[1, 3]$. Est-ce une valeur par excès ou par défaut de $\ln 3$ ?
6. On mesure la vitesse d'une voiture à quelques instants :

| $t$ (s) | 0 | 2 | 5 | 6 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $v(t)$ (m/s) | 10 | 14 | 20 | 18 |

Estimez la distance parcourue de $t = 0$ à $t = 6$ avec une somme à gauche, une somme à droite et une somme des trapèzes.

7. Pour $f(x) = x^2$ sur $[0, 2]$, expliquez pourquoi $M_4 < \frac{8}{3} < T_4$.

**Limites de sommes**

8. Écrivez $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{3}{n}\left(1 + \frac{3i}{n}\right)^2$ sous forme d'intégrale définie et calculez-la.
9. Calculez la somme à droite $R_n$ pour $f(x) = x$ sur $[0, 2]$ sous forme explicite, puis sa limite quand $n \to \infty$.
10. Estimez $\int_0^{\pi}\sin x\,dx$ avec une somme du point milieu, $n = 4$.

## Réponses

| Exercice | Réponse |
| --- | --- |
| 1 | $L_4 = 1.75$ |
| 2 | $R_4 = 3.75$ |
| 3 | $M_4 = 2.625$ |
| 4 | $T_4 = 2.75$ ; valeur exacte $\approx 2.667$ |
| 5 | $L_4 = \frac{77}{60} \approx 1.283$, une valeur par excès |
| 6 | À gauche $82$ m, à droite $106$ m, trapèzes $94$ m |
| 7 | $x^2$ est convexe |
| 8 | $\int_1^4 x^2\,dx = 21$ |
| 9 | $R_n = \frac{2(n+1)}{n} \to 2$ |
| 10 | $\approx 2.052$ (la valeur exacte est $2$) |

## Solutions détaillées

**1.** $\Delta x = \frac{2 - 0}{4} = 0.5$, donc les points sont $0, 0.5, 1, 1.5, 2$. La somme à gauche utilise les quatre premiers :

$$L_4 = 0.5\,(0 + 0.25 + 1 + 2.25) = 0.5(3.5) = 1.75$$

**2.** La somme à droite utilise les quatre derniers points :

$$R_4 = 0.5\,(0.25 + 1 + 2.25 + 4) = 0.5(7.5) = 3.75$$

**3.** Les milieux sont $0.25, 0.75, 1.25, 1.75$. Leurs carrés sont $0.0625, 0.5625, 1.5625, 3.0625$, dont la somme vaut $5.25$ :

$$M_4 = 0.5(5.25) = 2.625$$

**4.** Avec des largeurs égales, la somme des trapèzes est la moyenne des sommes à gauche et à droite :

$$T_4 = \frac{1.75 + 3.75}{2} = 2.75$$

La valeur exacte $\frac{8}{3} \approx 2.667$ se situe entre $M_4$ et $T_4$. La somme du point milieu est la plus proche.

**5.** $\Delta x = 0.5$ et les points à gauche sont $1, 1.5, 2, 2.5$ :

$$L_4 = 0.5\left(1 + \tfrac{2}{3} + \tfrac{1}{2} + \tfrac{2}{5}\right) = 0.5\cdot\frac{77}{30} = \frac{77}{60} \approx 1.283$$

Comme $\frac{1}{x}$ est décroissante, l'extrémité gauche de chaque morceau est le point le plus haut, donc chaque rectangle dépasse au-dessus de la courbe. C'est une valeur par excès de $\ln 3 \approx 1.099$.

**6.** Les largeurs sont $2$, $3$ et $1$. Multipliez chaque largeur par la bonne hauteur :

- À gauche : $2(10) + 3(14) + 1(20) = 82$ m
- À droite : $2(14) + 3(20) + 1(18) = 106$ m
- Trapèzes : $2\cdot\frac{10+14}{2} + 3\cdot\frac{14+20}{2} + 1\cdot\frac{20+18}{2} = 24 + 51 + 19 = 94$ m

**7.** Une courbe convexe est tournée vers le haut, donc le bord supérieur de chaque trapèze est au-dessus de la courbe et $T_4$ est trop grand. Chaque rectangle du point milieu a la même aire que le trapèze situé sous la tangente en ce milieu, et une courbe convexe est au-dessus de ses tangentes, donc $M_4$ est trop petit.

**8.** Identifiez $\Delta x = \frac{3}{n}$ et $x_i = 1 + \frac{3i}{n}$. L'intervalle commence en $1$ et a pour longueur $3$, c'est donc $[1, 4]$, et la fonction est $x^2$ :

$$\int_1^4 x^2\,dx = \frac{4^3 - 1^3}{3} = \frac{63}{3} = 21$$

**9.** $\Delta x = \frac{2}{n}$ et $x_i = \frac{2i}{n}$. Utilisez $\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$ :

$$R_n = \sum_{i=1}^{n}\frac{2}{n}\cdot\frac{2i}{n} = \frac{4}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2} = \frac{2(n+1)}{n} \to 2$$

Cela correspond à l'aire du triangle $\frac{1}{2}(2)(2) = 2$.

**10.** $\Delta x = \frac{\pi}{4}$, et les milieux sont $\frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}, \frac{7\pi}{8}$. Leurs sinus valent environ $0.3827, 0.9239, 0.9239, 0.3827$, dont la somme vaut environ $2.6131$ :

$$M_4 \approx \frac{\pi}{4}(2.6131) \approx 2.052$$

Comme $\sin x$ est concave sur $[0, \pi]$, la somme du point milieu surestime la valeur exacte $2$.

## Erreurs fréquentes sur ces exercices

- **Utiliser $n + 1$ hauteurs.** Une somme à gauche ou à droite avec $n = 4$ comporte exactement quatre rectangles. Listez les points et barrez celui que vous n'utilisez pas.
- **Supposer des largeurs égales dans un tableau.** Dans l'exercice 6, les écarts valent $2$, $3$ et $1$. Utiliser un seul $\Delta x$ donne une mauvaise réponse.
- **Confondre les règles d'excès et de défaut.** Gauche et droite dépendent de la croissance ou de la décroissance. Point milieu et trapèzes dépendent de la convexité.
- **Mal lire l'intervalle dans une limite.** Dans l'exercice 8, $x_i = 1 + \frac{3i}{n}$ signifie que l'intervalle commence en $1$, et non en $0$.

## Continuer à s'entraîner

Pour des sommes illimitées avec de nouvelles fonctions et une correction immédiate, suivez la [leçon sur les sommes de Riemann](/learn/calculus-1/integrals/riemann-sums) et la [leçon sur la méthode des trapèzes](/learn/calculus-1/integrals/trapezoid-sums). Voyez ensuite comment la limite de ces sommes devient une valeur exacte avec les [exercices sur les intégrales définies](/practice-problems/definite-integrals) et les [exercices sur le théorème fondamental](/practice-problems/fundamental-theorem-of-calculus).

## Questions fréquentes

### Comment savoir si une somme de Riemann est une valeur par excès ou par défaut ?

Pour les sommes à gauche et à droite, regardez si la fonction est croissante ou décroissante. Pour les sommes du point milieu et des trapèzes, regardez la convexité : si la courbe est convexe, la somme des trapèzes est trop grande et celle du point milieu trop petite.

### Quelle est la différence entre la méthode des trapèzes et une somme de Riemann ?

Une somme de Riemann utilise des rectangles. La méthode des trapèzes utilise des trapèzes, qui suivent la pente de la courbe. Avec des largeurs égales, la somme des trapèzes est la moyenne des sommes à gauche et à droite.

### Les sommes de Riemann exigent-elles des largeurs égales ?

Non. Avec des données dans un tableau, les largeurs sont les écarts donnés par le tableau. Multipliez chaque hauteur par sa propre largeur, comme dans l'exercice 6.