# Théorème fondamental de l'analyse : exercices corrigés > 12 exercices corrigés sur le théorème fondamental de l'analyse : dérivée d'une intégrale à borne variable, calcul d'intégrales et fonctions d'accumulation. Source : https://practicecalculus.com/fr/exercices-corriges/exercices-theoreme-fondamental-analyse Mis à jour : 2026-11-06 $$ \frac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x))\,g'(x) $$ ## En bref - **Exercices:** 12, avec réponses et solutions détaillées - **Niveau:** Calculus 1 (première année d'analyse) et AP Calculus AB, Unit 6 - **Prérequis:** La [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule) et les primitives usuelles - **Idée clé:** 1re partie : remplacer la borne supérieure dans l'intégrande et multiplier par sa dérivée. 2e partie : $F(b) - F(a)$ - **S''entraîner avec de nouvelles valeurs:** [Leçon sur le théorème fondamental, 1re partie](/learn/calculus-1/integrals/fundamental-theorem-part-1) ## À retenir - 1re partie : la dérivée de $\int_a^x f(t)\,dt$ est $f(x)$. Si la borne supérieure est une fonction, multipliez par sa dérivée. - Si $x$ est dans la borne inférieure, échangez d'abord les bornes, ce qui ajoute un signe moins. - Une fonction d'accumulation croît là où son intégrande est positive et décroît là où elle est négative. Ces **exercices sur le théorème fondamental de l'analyse** couvrent les deux parties du théorème : dériver des intégrales à bornes variables, calculer des intégrales définies et interpréter des fonctions d'accumulation. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses sont données en premier, puis viennent les solutions détaillées. Les deux parties : $$\text{1re partie : } \frac{d}{dx}\int_a^{x} f(t)\,dt = f(x) \qquad \text{2e partie : } \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$$ Avec la dérivation en chaîne, la 1re partie devient $\frac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x))\,g'(x)$. Pour le raisonnement, voir la [1re partie](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-1) et la [2e partie](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-2). ## Exercices **1re partie : dérivées d'intégrales** 1. $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_1^{x}(t^3 + 1)\,dt$ 2. $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt$ 3. $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_x^{5}e^{t^2}\,dt$ 4. $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_x^{x^2}\frac{1}{t}\,dt$ pour $x > 0$ 5. $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_0^{\sin x}(1 + t^2)\,dt$ **2e partie : calcul** 6. $\displaystyle\int_1^{2}(6x^2 - 2)\,dx$ 7. $\displaystyle\int_0^{\pi}\sin x\,dx$ 8. $\displaystyle\int_0^{\ln 3}e^x\,dx$ 9. $\displaystyle\int_0^{1}\frac{1}{1 + x^2}\,dx$ **Fonctions d'accumulation** 10. Soit $g(x) = \int_0^{x}(t^2 - 4)\,dt$. Où $g$ est-elle croissante ? Trouvez le minimum local de $g$ et sa valeur. 11. Soit $F(x) = \int_2^{x}\sqrt{t^2 + 5}\,dt$. Calculez $F(2)$ et $F'(2)$. 12. Soit $g(x) = \int_0^{x}\sin(t^2)\,dt$. Calculez $g''(x)$. ## Réponses | Exercice | Réponse | | --- | --- | | 1 | $x^3 + 1$ | | 2 | $2x\cos(x^2)$ | | 3 | $-e^{x^2}$ | | 4 | $\frac{1}{x}$ | | 5 | $(1 + \sin^2 x)\cos x$ | | 6 | $12$ | | 7 | $2$ | | 8 | $2$ | | 9 | $\frac{\pi}{4}$ | | 10 | Croissante pour $\lvert x\rvert > 2$ ; minimum local en $x = 2$, $g(2) = -\frac{16}{3}$ | | 11 | $F(2) = 0$, $F'(2) = 3$ | | 12 | $2x\cos(x^2)$ | ## Solutions détaillées **1.** La borne supérieure est simplement $x$, donc remplacez $t$ par $x$. La borne inférieure $1$ n'a pas d'importance : $$x^3 + 1$$ **2.** La borne supérieure est $x^2$ : remplacez-la dans l'intégrande et multipliez par sa dérivée $2x$ : $$\cos(x^2)\cdot 2x = 2x\cos(x^2)$$ **3.** La variable est dans la borne inférieure. Échangez les bornes pour obtenir $-\int_5^{x}e^{t^2}\,dt$, puis appliquez la 1re partie : $$-e^{x^2}$$ Remarquez que $e^{t^2}$ n'a pas de primitive élémentaire, donc la 1re partie est la seule façon de faire. **4.** Borne supérieure moins borne inférieure, chacune avec son facteur de dérivation en chaîne : $$\frac{1}{x^2}\cdot 2x - \frac{1}{x}\cdot 1 = \frac{2}{x} - \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$$ Vérification : l'intégrale vaut $\ln(x^2) - \ln x = \ln x$, dont la dérivée est $\frac{1}{x}$. **5.** Évaluez en $\sin x$ l'intégrande $1 + t^2$ et multipliez par $\cos x$ : $$(1 + \sin^2 x)\cos x$$ **6.** Une primitive est $2x^3 - 2x$ : $$(16 - 4) - (2 - 2) = 12$$ **7.** Une primitive de $\sin x$ est $-\cos x$ : $$-\cos\pi - (-\cos 0) = 1 + 1 = 2$$ **8.** Comme $e^{\ln 3} = 3$ : $$e^{\ln 3} - e^0 = 3 - 1 = 2$$ **9.** Une primitive est $\arctan x$ : $$\arctan 1 - \arctan 0 = \frac{\pi}{4}$$ **10.** D'après la 1re partie, $g'(x) = x^2 - 4$. C'est positif quand $|x| > 2$, donc $g$ est croissante sur $(-\infty, -2)$ et $(2, \infty)$. En $x = 2$, $g'$ passe du négatif au positif, donc $g$ y admet un minimum local : $$g(2) = \int_0^2 (t^2 - 4)\,dt = \frac{8}{3} - 8 = -\frac{16}{3}$$ **11.** Quand les bornes sont égales, l'intégrale vaut $0$, donc $F(2) = 0$. D'après la 1re partie, $F'(x) = \sqrt{x^2 + 5}$, donc $F'(2) = \sqrt{9} = 3$. **12.** D'abord $g'(x) = \sin(x^2)$. Dérivez à nouveau avec la dérivation en chaîne : $$g''(x) = \cos(x^2)\cdot 2x = 2x\cos(x^2)$$ ## Erreurs fréquentes sur ces exercices - **Oublier le facteur de la dérivation en chaîne.** Dans l'exercice 2, $\cos(x^2)$ seul est faux. Multipliez par la dérivée de la borne supérieure. - **Ignorer une borne inférieure variable.** Dans l'exercice 3, le signe moins vient de l'échange des bornes. - **Vouloir intégrer d'abord quand c'est impossible.** $e^{t^2}$ et $\sin(t^2)$ n'ont pas de primitive élémentaire. La 1re partie permet d'éviter cette étape. - **Confondre $g$ et $g'$.** Dans l'exercice 10, $g$ croît là où l'intégrande est positive, pas là où $g$ elle-même est positive. ## Continuer à s'entraîner Pour des exercices en nombre illimité avec correction immédiate, essayez la [leçon sur le théorème fondamental, 1re partie](/learn/calculus-1/integrals/fundamental-theorem-part-1), la [leçon sur la 2e partie](/learn/calculus-1/integrals/fundamental-theorem-part-2) et la [leçon sur les fonctions d'accumulation](/learn/calculus-1/integrals/accumulation-functions). Pour une vue d'ensemble, lisez le [guide du théorème fondamental](/blog/fundamental-theorem-of-calculus). Passez ensuite aux [exercices sur le changement de variable](/practice-problems/u-substitution). ## Questions fréquentes ### Quelle est la différence entre la 1re et la 2e partie du théorème fondamental ? La 1re partie dit que dériver une intégrale dont la borne supérieure est variable redonne l'intégrande. La 2e partie dit qu'on peut calculer une intégrale définie avec n'importe quelle primitive, sous la forme $F(b) - F(a)$. La 1re partie concerne les dérivées d'intégrales ; la 2e partie concerne le calcul d'intégrales. ### Pourquoi la dérivée d'une intégrale ne dépend-elle pas de la borne inférieure ? Changer une borne inférieure constante ne fait qu'ajouter ou retirer une quantité d'aire fixe, c'est-à-dire une constante. Or une constante a une dérivée nulle. ### Et si les deux bornes dépendent de x ? Coupez l'intégrale en une constante, ou utilisez directement la règle : $\frac{d}{dx}\int_{h(x)}^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x))g'(x) - f(h(x))h'(x)$. L'exercice 4 l'illustre.