# Volumes de révolution : exercices corrigés avec réponses > 11 exercices corrigés sur les volumes de révolution par la méthode des disques, des anneaux et des tubes cylindriques, y compris autour d'autres axes. Source : https://practicecalculus.com/fr/exercices-corriges/exercices-volumes-de-revolution Mis à jour : 2026-11-06 $$ V = \pi\int_a^b \big(R(x)^2 - r(x)^2\big)\,dx \qquad V = 2\pi\int_a^b x\,h(x)\,dx $$ ## En bref - **Exercices:** 11, avec réponses et solutions complètes - **Niveau:** Analyse 1, Analyse 2 et AP Calculus, unité 8 - **Prérequis:** L'[aire entre deux courbes](/practice-problems/area-between-curves) et les [intégrales définies](/practice-problems/definite-integrals) - **Idée principale:** Découper le solide en disques, anneaux ou tubes, calculer le volume d'une tranche, puis tout additionner - **S'entraîner avec de nouveaux nombres:** [Leçon sur la méthode des disques](/learn/calculus-1/applications-of-integrals/volumes-disks) ## À retenir - Disques : $\pi\int R^2$. Anneaux : $\pi\int(R^2 - r^2)$. Tubes : $2\pi\int(\text{rayon})(\text{hauteur})$. - Un rayon est une distance à l'axe. Pour un axe comme $y = -1$, ajoutez ou soustrayez pour obtenir la distance. - Élevez chaque rayon au carré séparément : $R^2 - r^2$, jamais $(R - r)^2$. Ces **exercices sur les volumes de révolution** portent sur les méthodes des disques, des anneaux et des tubes cylindriques, la rotation autour de l'axe des $y$, et la rotation autour de droites qui ne sont pas des axes. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses viennent en premier pour vérifier rapidement, puis les solutions complètes. Les trois formules, pour une rotation autour de l'axe des $x$ ou de l'axe des $y$ : $$\text{Disques : } V = \pi\int_a^b R^2\,dx \qquad \text{Anneaux : } V = \pi\int_a^b (R^2 - r^2)\,dx \qquad \text{Tubes : } V = 2\pi\int_a^b x\,h(x)\,dx$$ Pour voir chaque type de tranche en image, lisez le [guide des volumes de révolution](/blog/volumes-of-revolution). ## Exercices **Disques autour de l'axe des x** 1. $y = \sqrt{x}$, $0 \le x \le 4$, autour de l'axe des $x$ 2. $y = x^2$, $0 \le x \le 1$, autour de l'axe des $x$ 3. $y = \sqrt{9 - x^2}$, $-3 \le x \le 3$, autour de l'axe des $x$ 4. $y = \sin x$, $0 \le x \le \pi$, autour de l'axe des $x$ **Anneaux** 5. La région entre $y = x$ et $y = x^2$, autour de l'axe des $x$ 6. La région entre $y = \sqrt{x}$ et $y = x$, autour de l'axe des $x$ **Autour de l'axe des y** 7. La région délimitée par $y = x^2$, $y = 4$ et l'axe des $y$ ($x \ge 0$), autour de l'axe des $y$, avec des disques 8. La région sous $y = x - x^2$ sur $[0, 1]$, autour de l'axe des $y$, avec des tubes 9. La région sous $y = x^2$ sur $[0, 2]$, autour de l'axe des $y$, avec des tubes **Autres axes** 10. La région entre $y = x$ et $y = x^2$, autour de la droite $y = -1$ 11. La région entre $y = x^2$ et $y = 1$, autour de la droite $y = 1$ ## Réponses | Exercice | Réponse | | --- | --- | | 1 | $8\pi$ | | 2 | $\frac{\pi}{5}$ | | 3 | $36\pi$ | | 4 | $\frac{\pi^2}{2}$ | | 5 | $\frac{2\pi}{15}$ | | 6 | $\frac{\pi}{6}$ | | 7 | $8\pi$ | | 8 | $\frac{\pi}{6}$ | | 9 | $8\pi$ | | 10 | $\frac{7\pi}{15}$ | | 11 | $\frac{16\pi}{15}$ | ## Solutions détaillées **1.** Chaque tranche est un disque de rayon $\sqrt{x}$ : $$\pi\int_0^4 x\,dx = \pi\cdot 8 = 8\pi$$ **2.** Le rayon vaut $x^2$, donc $R^2 = x^4$ : $$\pi\int_0^1 x^4\,dx = \frac{\pi}{5}$$ **3.** Le carré du rayon vaut $9 - x^2$ : $$\pi\int_{-3}^{3}(9 - x^2)\,dx = \pi(54 - 18) = 36\pi$$ C'est une boule de rayon $3$, et $\frac{4}{3}\pi(3)^3 = 36\pi$. Bonne vérification. **4.** Utilisez $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ : $$\pi\int_0^{\pi}\sin^2 x\,dx = \pi\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{2}$$ **5.** Sur $[0, 1]$, la droite $y = x$ est plus éloignée de l'axe, donc $R = x$ et $r = x^2$ : $$\pi\int_0^1(x^2 - x^4)\,dx = \pi\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) = \frac{2\pi}{15}$$ **6.** Sur $[0, 1]$, $\sqrt{x} \ge x$, donc $R = \sqrt{x}$ et $r = x$ : $$\pi\int_0^1(x - x^2)\,dx = \pi\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) = \frac{\pi}{6}$$ **7.** Découpez horizontalement. À la hauteur $y$, le rayon vaut $x = \sqrt{y}$, donc $R^2 = y$ : $$\pi\int_0^4 y\,dy = 8\pi$$ **8.** Un tube en $x$ a pour rayon $x$ et pour hauteur $x - x^2$ : $$2\pi\int_0^1 x(x - x^2)\,dx = 2\pi\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) = \frac{\pi}{6}$$ **9.** Un tube en $x$ a pour rayon $x$ et pour hauteur $x^2$ : $$2\pi\int_0^2 x^3\,dx = 2\pi\cdot 4 = 8\pi$$ Les exercices 7 et 9 décrivent des solides différents qui ont le même volume. L'exercice 7 est le solide qui remplit le bol en forme de paraboloïde ; l'exercice 9 est le solide sous le bol, entre le bol et le cylindre $x = 2$. Ensemble, ils remplissent un cylindre de rayon $2$ et de hauteur $4$, de volume $16\pi$. **10.** Mesurez à partir de $y = -1$. Le rayon extérieur vaut $x + 1$ et le rayon intérieur $x^2 + 1$ : $$\pi\int_0^1\big[(x + 1)^2 - (x^2 + 1)^2\big]dx = \pi\int_0^1(2x - x^2 - x^4)\,dx = \pi\left(1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) = \frac{7\pi}{15}$$ **11.** La région touche la droite $y = 1$, donc utilisez des disques. Le rayon vaut $1 - x^2$, et les courbes se coupent en $x = \pm 1$ : $$\pi\int_{-1}^{1}(1 - x^2)^2\,dx = 2\pi\int_0^1(1 - 2x^2 + x^4)\,dx = 2\pi\cdot\frac{8}{15} = \frac{16\pi}{15}$$ ## Erreurs fréquentes sur ces exercices - **Écrire $(R - r)^2$.** Dans l'exercice 5, $\pi\int(x - x^2)^2\,dx$ donne $\frac{\pi}{30}$, et non $\frac{2\pi}{15}$. Élevez chaque rayon au carré séparément. - **Mesurer à partir du mauvais axe.** Dans l'exercice 10, les rayons valent $x + 1$ et $x^2 + 1$, et non $x$ et $x^2$. - **Oublier le $\pi$ ou le $2\pi$.** Les formules des disques et des anneaux commencent par $\pi$. Celle des tubes commence par $2\pi$. - **Mélanger les variables.** Les tranches horizontales demandent que tout soit exprimé en $y$, y compris les bornes. ## Continuer à s'entraîner Pour des solides illimités avec une correction immédiate, essayez la [leçon sur les disques](/learn/calculus-1/applications-of-integrals/volumes-disks), la [leçon sur les anneaux](/learn/calculus-1/applications-of-integrals/volumes-washers) et la [leçon sur les sections](/learn/calculus-1/applications-of-integrals/volumes-cross-sections). Si une région s'étend à l'infini, les [exercices sur les intégrales impropres](/practice-problems/improper-integrals) montrent comment la traiter. ## Questions fréquentes ### Comment choisir entre la méthode des anneaux et celle des tubes ? Les deux donnent le même volume. Les tranches perpendiculaires à l'axe donnent des disques ou des anneaux ; les tranches parallèles donnent des tubes. Choisissez celle dont les fonctions et les bornes sont les plus simples. Pour une région décrite en $x$ tournant autour de l'axe des $y$, les tubes évitent en général d'exprimer $x$. ### Quelle est la différence entre un disque et un anneau ? Un disque est une tranche pleine sans trou, utilisée quand la région touche l'axe. Un anneau a un trou, utilisé quand il y a un espace entre la région et l'axe. Le volume d'un anneau vaut $\pi(R^2 - r^2)$ fois l'épaisseur. ### Comment faire tourner autour d'une droite qui n'est pas un axe ? Mesurez chaque rayon à partir de cette droite. Pour une rotation autour de $y = -1$, une courbe $y = f(x)$ au-dessus de la droite a pour rayon $f(x) + 1$. L'exercice 10 le montre.