# Arc cosinus arccos(x) : courbe, domaine, dérivée et primitive

> La fonction arc cosinus arccos(x), réciproque du cosinus : domaine [−1, 1], image [0, π], courbe, dérivée −1/√(1−x²), primitive et exemples.

Source : https://practicecalculus.com/fr/fonctions/arc-cosinus
Mis à jour : 2026-11-03

$$ f(x) = \arccos x = \cos^{-1} x $$

## En bref

- **Domaine de définition:** $[-1, 1]$
- **Ensemble image:** $[0, \pi]$
- **Dérivée:** $-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
- **Primitive:** $x\arccos x - \sqrt{1 - x^2} + C$
- **Signification:** L'angle de $[0, \pi]$ dont le cosinus vaut $x$
- **Identité:** $\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x$

## À retenir

- $\arccos x$ est l'angle de $[0, \pi]$ dont le cosinus vaut $x$, défini pour $-1 \le x \le 1$.
- Sa dérivée est $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, l'opposé de la dérivée de l'arc sinus.
- L'arc sinus et l'arc cosinus ont toujours pour somme $\frac{\pi}{2}$.

La **fonction arc cosinus** défait le cosinus : $\arccos x$ est l'angle de $[0, \pi]$ dont le cosinus vaut $x$. Elle n'est définie que pour $-1 \le x \le 1$, et elle est étroitement liée à l'[arc sinus](/functions/arcsine) : leur somme vaut toujours $\frac{\pi}{2}$.

## Définition de arccos x

$$y = \arccos x \quad\Longleftrightarrow\quad \cos y = x \text{ et } 0 \le y \le \pi$$

Par exemple, $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$, car $\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$ et $\frac{2\pi}{3}$ appartient à $[0, \pi]$. On utilise l'intervalle $[0, \pi]$ parce que le [cosinus](/functions/cosine-function) y est bijectif et atteint chaque valeur de $[-1, 1]$.

## Courbe de y = arccos x

```graph
title: 'Courbe de y = arccos x sur [−1, 1]'
caption: 'L''arc cosinus décroît de $\pi$ en $x = -1$ jusqu''à $0$ en $x = 1$, en passant par $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$.'
x: [-1.8, 1.8]
y: [-0.4, 3.6]
functions:
  - expr: arccos(x)
    label: y = arccos x
    domain: [-1, 1]
points:
  - [-1, 3.1416, '(−1, π)']
  - [0, 1.5708, '(0, π/2)']
  - [1, 0, '(1, 0)']
```

Contrairement à l'arc sinus, l'arc cosinus est décroissant, et il n'est ni pair ni impair. Sa courbe est symétrique par rapport au point $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, ce qui traduit l'identité $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$.

## Valeurs remarquables de l'arc cosinus

| $x$ | $-1$ | $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $-\frac{1}{2}$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $\arccos x$ | $\pi$ | $\frac{5\pi}{6}$ | $\frac{2\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{6}$ | $0$ |

## Propriétés de l'arc cosinus

- **Domaine de définition $[-1, 1]$, ensemble image $[0, \pi]$.**
- **Décroissante** sur tout son domaine de définition.
- **Simplification.** $\cos(\arccos x) = x$ pour $x$ dans $[-1, 1]$ ; $\arccos(\cos x) = x$ seulement pour $x$ dans $[0, \pi]$.
- **Identité complémentaire.** $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ pour tout $x$ de $[-1, 1]$.
- **Symétrie.** $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$.

## Dérivée de arccos x

$$\frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad -1 < x < 1$$

**Pourquoi.** Posons $y = \arccos x$, donc $\cos y = x$. En dérivant implicitement, $-\sin y\cdot y' = 1$, donc $y' = -\frac{1}{\sin y}$. Sur $[0, \pi]$, on a $\sin y \ge 0$, donc $\sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$.

Une méthode plus rapide : dériver $\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x$. La constante disparaît et le signe change.

## Primitive de arccos x

On utilise une [intégration par parties](/blog/integration-by-parts) avec $u = \arccos x$ et $dv = dx$, donc $du = -\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ et $v = x$ :

$$\int\arccos x\,dx = x\arccos x + \int\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx = x\arccos x - \sqrt{1 - x^2} + C$$

Vérification : la dérivée de $-\sqrt{1-x^2}$ est $\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$, qui compense le terme $-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ issu de la règle du produit appliquée à $x\arccos x$ ; il reste $\arccos x$.

En pratique, on a rarement besoin d'une primitive « en arccos » pour $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, car $-\arcsin x + C$ convient tout aussi bien. Les deux réponses diffèrent de la constante $\frac{\pi}{2}$.

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : dérivation en chaîne.** Dérivons $f(x) = \arccos(x^2)$ :

$$f'(x) = -\frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}$$

**Exemple 2 : calcul d'une valeur.** $\arccos\left(\cos\frac{5\pi}{3}\right)$. Comme $\cos\frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}$, le résultat est $\arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$, et non $\frac{5\pi}{3}$.

**Exemple 3 : composition.** Simplifions $\sin(\arccos x)$. Avec $\theta = \arccos x$ dans $[0, \pi]$, on a $\sin\theta \ge 0$, donc $\sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2}$.

**Exemple 4 : une tangente.** En $x = 0$, $\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$ et la pente vaut $-\frac{1}{\sqrt{1}} = -1$. La tangente a pour équation $y = \frac{\pi}{2} - x$.

## Erreurs fréquentes

1. **Utiliser l'ensemble image de l'arc sinus.** $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\pi}{4}$, qui appartient à $[0, \pi]$, et non $-\frac{\pi}{4}$.
2. **Oublier le signe moins dans la dérivée.** La dérivée de l'arc sinus est positive ; celle de l'arc cosinus est négative.
3. **Confondre $\cos^{-1}x$ avec $\sec x$.** L'inverse $\frac{1}{\cos x}$ est la sécante (voir [sécante, cosécante et cotangente](/functions/reciprocal-trig-functions)).
4. **Croire que $\arccos(\cos x) = x$ dans tous les cas.** Ce n'est vrai que pour $x$ dans $[0, \pi]$.

## Liens entre l'arc cosinus et d'autres notions

L'arc cosinus donne l'angle entre deux vecteurs, $\theta = \arccos\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|}$, c'est pourquoi on le retrouve avec le [produit scalaire](/blog/vectors-dot-and-cross-product). Sa dérivée est le reflet de celle de l'[arc sinus](/functions/arcsine), et la troisième fonction trigonométrique réciproque dont on a besoin pour intégrer est l'[arc tangente](/functions/arctangent).

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée de arccos x ?

La dérivée de $\arccos x$ est $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ pour $-1 < x < 1$. Avec la règle de dérivation en chaîne, $\frac{d}{dx}\arccos(u) = -\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$.

### Quel est l'ensemble image de arccos x ?

L'ensemble image est $[0, \pi]$. Le cosinus est bijectif sur cet intervalle et y prend chaque valeur de $-1$ à $1$ exactement une fois.

### Pourquoi l'image de arccos est-elle différente de celle de arcsin ?

Le sinus est bijectif sur $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, mais pas le cosinus (il est pair). Le cosinus est bijectif sur $[0, \pi]$, donc l'arc cosinus utilise cet intervalle.

### Quelle est une primitive de arccos x ?

Une intégration par parties donne $\int\arccos x\,dx = x\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C$.