# Arc sinus arcsin(x) : courbe, domaine, dérivée et primitive

> La fonction arc sinus arcsin(x), réciproque du sinus : domaine [−1, 1], image [−π/2, π/2], courbe, dérivée 1/√(1−x²), primitive et exemples.

Source : https://practicecalculus.com/fr/fonctions/arc-sinus
Mis à jour : 2026-11-03

$$ f(x) = \arcsin x = \sin^{-1} x $$

## En bref

- **Domaine de définition:** $[-1, 1]$
- **Ensemble image:** $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$
- **Dérivée:** $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
- **Primitive:** $x\arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + C$
- **Signification:** L'angle de $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ dont le sinus vaut $x$
- **Symétrie:** Impaire : $\arcsin(-x) = -\arcsin x$

## À retenir

- $\arcsin x$ est l'angle de $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ dont le sinus vaut $x$, défini uniquement pour $-1 \le x \le 1$.
- Sa dérivée est $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, donc $\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C$.
- $\sin^{-1}x$ désigne l'arc sinus, et non $\frac{1}{\sin x}$.

La **fonction arc sinus** défait la fonction sinus : $\arcsin x$ est l'angle dont le sinus vaut $x$. Comme le [sinus](/functions/sine-function) est périodique, il n'est pas bijectif ; l'arc sinus choisit donc l'unique réponse située dans $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$. En analyse, elle compte surtout comme primitive de $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

## Définition de arcsin x

$$y = \arcsin x \quad\Longleftrightarrow\quad \sin y = x \text{ et } -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$$

Ainsi, $\arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$, car $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ et $\frac{\pi}{6}$ appartient à l'intervalle autorisé. La notation $\sin^{-1}x$ signifie la même chose.

## Courbe de y = arcsin x

```graph
title: 'Courbe de y = arcsin x sur [−1, 1]'
caption: 'L''arc sinus croît de $-\frac{\pi}{2}$ en $x = -1$ jusqu''à $\frac{\pi}{2}$ en $x = 1$. Les tangentes aux deux extrémités sont verticales.'
x: [-1.8, 1.8]
y: [-1.9, 1.9]
functions:
  - expr: arcsin(x)
    label: y = arcsin x
    domain: [-1, 1]
points:
  - [-1, -1.5708, '(−1, −π/2)']
  - [0, 0, '(0, 0)']
  - [1, 1.5708, '(1, π/2)']
```

La courbe est le morceau de $y = \sin x$ sur $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, réfléchi par rapport à la droite $y = x$.

## Valeurs remarquables de l'arc sinus

| $x$ | $-1$ | $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $-\frac{1}{2}$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $\arcsin x$ | $-\frac{\pi}{2}$ | $-\frac{\pi}{3}$ | $-\frac{\pi}{6}$ | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ |

## Propriétés de l'arc sinus

- **Domaine de définition $[-1, 1]$, ensemble image $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$.** Les valeurs hors de $[-1, 1]$ ne sont pas définies, car aucun angle n'a pour sinus $2$.
- **Croissante.** L'arc sinus est strictement croissant sur tout son domaine de définition.
- **Impaire.** $\arcsin(-x) = -\arcsin x$.
- **Simplification.** $\sin(\arcsin x) = x$ pour tout $x$ de $[-1, 1]$, mais $\arcsin(\sin x) = x$ seulement pour $x$ dans $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$.
- **Lien avec l'arc cosinus.** $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$. Voir l'[arc cosinus](/functions/arccosine).

## Dérivée de arcsin x

$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad -1 < x < 1$$

**Pourquoi.** Posons $y = \arcsin x$, donc $\sin y = x$. La [dérivation implicite](/rules/implicit-differentiation) donne $\cos y \cdot y' = 1$, donc $y' = \frac{1}{\cos y}$. Comme $y$ appartient à $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, $\cos y \ge 0$, et $\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$. C'est un cas particulier de la [dérivée d'une fonction réciproque](/rules/inverse-function-rule).

En $x = \pm 1$, le dénominateur s'annule, ce qui explique les tangentes verticales aux extrémités de la courbe.

## Intégrales faisant intervenir l'arc sinus

La formule de la dérivée, lue à l'envers, donne l'intégrale que vous utiliserez le plus :

$$\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} = \arcsin x + C, \qquad \int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin\frac{x}{a} + C \ (a > 0)$$

Une primitive de l'arc sinus lui-même s'obtient par [intégration par parties](/blog/integration-by-parts) avec $u = \arcsin x$, $dv = dx$ :

$$\int \arcsin x\,dx = x\arcsin x - \int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = x\arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + C$$

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : dérivation en chaîne.** Dérivons $f(x) = \arcsin(3x)$ :

$$f'(x) = \frac{3}{\sqrt{1 - 9x^2}}$$

**Exemple 2 : une intégrale définie.** $\int_0^{1/2}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin\frac{1}{2} - \arcsin 0 = \frac{\pi}{6}$.

**Exemple 3 : avec $a$.** $\int\frac{dx}{\sqrt{9 - x^2}} = \arcsin\frac{x}{3} + C$.

**Exemple 4 : composition.** Simplifions $\cos(\arcsin x)$. Si $\theta = \arcsin x$, alors $\sin\theta = x$ et $\cos\theta \ge 0$, donc $\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}$.

## Erreurs fréquentes

1. **Lire $\sin^{-1}x$ comme $\frac{1}{\sin x}$.** L'inverse est $\csc x$, présentée dans [sécante, cosécante et cotangente](/functions/reciprocal-trig-functions).
2. **Donner un angle hors de l'ensemble image.** $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$, et non $\frac{7\pi}{6}$ ou $\frac{11\pi}{6}$.
3. **Utiliser une valeur telle que $|x| > 1$.** $\arcsin 2$ n'existe pas en tant que nombre réel.
4. **Oublier le facteur de la dérivation en chaîne.** $\frac{d}{dx}\arcsin(x^2) = \frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}$, et non $\frac{1}{\sqrt{1-x^4}}$.

## Liens entre l'arc sinus et d'autres notions

L'arc sinus est au cœur du changement de variable $x = a\sin\theta$ du [changement de variable trigonométrique](/blog/trig-substitution), utilisé pour les intégrales contenant $\sqrt{a^2 - x^2}$. Ses fonctions sœurs sont l'[arc cosinus](/functions/arccosine) et l'[arc tangente](/functions/arctangent), et leurs trois dérivées s'obtiennent de la même façon dans le guide de la [dérivation implicite](/blog/implicit-differentiation).

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée de arcsin x ?

La dérivée de $\arcsin x$ est $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ pour $-1 < x < 1$. Avec la règle de dérivation en chaîne, $\frac{d}{dx}\arcsin(u) = \frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$.

### Quels sont le domaine de définition et l'ensemble image de arcsin x ?

Le domaine de définition est $[-1, 1]$, car le sinus ne prend que des valeurs dans cet intervalle. L'ensemble image est $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, l'intervalle sur lequel le sinus est bijectif.

### Sin moins un, est-ce la même chose que 1/sin x ?

Non. $\sin^{-1}x$ désigne la fonction réciproque arc sinus. L'inverse $\frac{1}{\sin x}$ est la cosécante, $\csc x$.

### Quelle est une primitive de arcsin x ?

Une intégration par parties avec $u = \arcsin x$ et $dv = dx$ donne $\int\arcsin x\,dx = x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$.

### Pourquoi arcsin(sin x) n'est-il pas toujours égal à x ?

L'arc sinus renvoie toujours un angle compris entre $-\frac{\pi}{2}$ et $\frac{\pi}{2}$. Par exemple, $\arcsin(\sin\pi) = \arcsin 0 = 0$, et non $\pi$.