# Arc tangente arctan(x) : courbe, asymptotes, dérivée et primitive

> La fonction arc tangente arctan(x), réciproque de la tangente : définie sur ℝ, image (−π/2, π/2), courbe, dérivée 1/(1+x²), primitive et exemples.

Source : https://practicecalculus.com/fr/fonctions/arc-tangente
Mis à jour : 2026-11-03

$$ f(x) = \arctan x = \tan^{-1} x $$

## En bref

- **Domaine de définition:** $(-\infty, \infty)$
- **Ensemble image:** $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$
- **Dérivée:** $\frac{1}{1 + x^2}$
- **Primitive:** $x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1 + x^2) + C$
- **Asymptotes horizontales:** $y = \pm\frac{\pi}{2}$
- **Symétrie:** Impaire : $\arctan(-x) = -\arctan x$

## À retenir

- $\arctan x$ est l'angle de $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ dont la tangente vaut $x$, défini pour tout réel $x$.
- Sa dérivée est $\frac{1}{1+x^2}$, donc $\int\frac{dx}{1+x^2} = \arctan x + C$.
- La courbe admet les asymptotes horizontales $y = \frac{\pi}{2}$ et $y = -\frac{\pi}{2}$.

La **fonction arc tangente** défait la tangente : $\arctan x$ est l'angle de $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ dont la tangente vaut $x$. Contrairement à l'[arc sinus](/functions/arcsine) et à l'[arc cosinus](/functions/arccosine), elle accepte tous les nombres réels, car la [tangente](/functions/tangent-function) prend toutes les valeurs réelles. En analyse, elle est célèbre comme primitive de $\frac{1}{1+x^2}$.

## Définition de arctan x

$$y = \arctan x \quad\Longleftrightarrow\quad \tan y = x \text{ et } -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$$

Comme $\tan y$ est la pente d'une droite faisant un angle $y$, on peut voir $\arctan m$ comme l'angle que fait une droite de pente $m$ avec la partie positive de l'axe des $x$. Par exemple, $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$ : une droite de pente $1$ fait un angle de 45 degrés.

## Courbe de y = arctan x

```graph
title: 'Courbe de y = arctan x avec ses asymptotes horizontales y = ±π/2'
caption: 'L''arc tangente est croissante partout et se stabilise vers $\frac{\pi}{2}$ à droite et vers $-\frac{\pi}{2}$ à gauche.'
x: [-8, 8]
y: [-2.2, 2.2]
functions:
  - expr: arctan(x)
    label: y = arctan x
  - expr: '1.5708'
    label: y = π/2
    dashed: true
  - expr: '-1.5708'
    label: y = −π/2
    dashed: true
points:
  - [0, 0, '(0, 0)']
  - [1, 0.7854, '(1, π/4)']
```

## Valeurs remarquables de l'arc tangente

| $x$ | $-\sqrt{3}$ | $-1$ | $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $0$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $\arctan x$ | $-\frac{\pi}{3}$ | $-\frac{\pi}{4}$ | $-\frac{\pi}{6}$ | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ |

## Propriétés de l'arc tangente

- **Domaine de définition : tous les réels ; ensemble image $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$.** Les bornes ne sont jamais atteintes.
- **Croissante et impaire.** $\arctan(-x) = -\arctan x$.
- **Limites en l'infini.** $\lim_{x\to\infty}\arctan x = \frac{\pi}{2}$ et $\lim_{x\to-\infty}\arctan x = -\frac{\pi}{2}$. Voir les [limites en l'infini](/blog/limits-at-infinity).
- **Simplification.** $\tan(\arctan x) = x$ pour tout $x$ ; $\arctan(\tan x) = x$ seulement pour $x$ dans $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$.
- **Identité de l'inverse.** Pour $x > 0$, $\arctan x + \arctan\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$.

## Dérivée de arctan x

$$\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1 + x^2}$$

**Pourquoi.** Posons $y = \arctan x$, donc $\tan y = x$. La [dérivation implicite](/rules/implicit-differentiation) donne $\sec^2 y\cdot y' = 1$, donc $y' = \frac{1}{\sec^2 y} = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1 + x^2}$.

La dérivée est toujours positive et maximale en $x = 0$, où elle vaut $1$. Elle tend vers $0$ quand $|x|$ augmente, ce qui correspond à l'aplatissement de la courbe.

## Intégrales faisant intervenir l'arc tangente

$$\int\frac{dx}{1 + x^2} = \arctan x + C, \qquad \int\frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C \ (a > 0)$$

Elles apparaissent dès qu'un trinôme sans racine réelle figure au dénominateur, ce qui est fréquent dans la [décomposition en éléments simples](/blog/partial-fractions).

Une primitive de l'arc tangente elle-même s'obtient par [intégration par parties](/blog/integration-by-parts) avec $u = \arctan x$, $dv = dx$ :

$$\int\arctan x\,dx = x\arctan x - \int\frac{x}{1+x^2}\,dx = x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1 + x^2) + C$$

Aucune valeur absolue n'est nécessaire, car $1 + x^2 > 0$.

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : dérivation en chaîne.** Dérivons $f(x) = \arctan(2x)$ :

$$f'(x) = \frac{2}{1 + 4x^2}$$

**Exemple 2 : une intégrale impropre.**

$$\int_0^\infty\frac{dx}{1 + x^2} = \lim_{b\to\infty}\left(\arctan b - \arctan 0\right) = \frac{\pi}{2}$$

C'est un exemple classique d'[intégrale impropre](/blog/improper-integrals) convergente.

**Exemple 3 : mise sous forme canonique.** Calculons $\int\frac{dx}{x^2 + 2x + 5}$. On écrit $x^2 + 2x + 5 = (x+1)^2 + 4$ et on prend $a = 2$ :

$$\int\frac{dx}{(x+1)^2 + 4} = \frac{1}{2}\arctan\frac{x+1}{2} + C$$

**Exemple 4 : une intégrale définie.** $\int_0^1\frac{dx}{1+x^2} = \arctan 1 - \arctan 0 = \frac{\pi}{4}$.

## Erreurs fréquentes

1. **Écrire la dérivée sous la forme $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.** Il n'y a pas de racine carrée pour l'arc tangente. La racine carrée concerne l'arc sinus et l'arc cosinus (avec $1 - x^2$).
2. **Oublier le $\frac{1}{a}$.** $\int\frac{dx}{9 + x^2} = \frac{1}{3}\arctan\frac{x}{3} + C$, et non $\arctan\frac{x}{3} + C$.
3. **Lire $\tan^{-1}x$ comme $\cot x$.** $\frac{1}{\tan x}$ est la cotangente, une fonction différente (voir [sécante, cosécante et cotangente](/functions/reciprocal-trig-functions)).
4. **Répondre hors de l'ensemble image.** $\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$, et non $\frac{3\pi}{4}$.

## Liens entre l'arc tangente et d'autres notions

Le changement de variable $x = a\tan\theta$ du [changement de variable trigonométrique](/blog/trig-substitution) conduit à des résultats en arc tangente. Son [développement en série entière](/blog/power-series), $\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots$ pour $|x| \le 1$, s'obtient en intégrant la [série géométrique](/blog/geometric-series) de $\frac{1}{1+x^2}$, et en $x = 1$ il donne la célèbre formule $\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \cdots$.

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée de arctan x ?

La dérivée de $\arctan x$ est $\frac{1}{1+x^2}$. Avec la règle de dérivation en chaîne, $\frac{d}{dx}\arctan(u) = \frac{u'}{1+u^2}$.

### Quelle est une primitive de 1/(1+x²) ?

C'est $\arctan x + C$. Plus généralement, $\int\frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$ pour $a > 0$.

### Quelle est la limite de arctan x quand x tend vers l'infini ?

$\lim_{x\to\infty}\arctan x = \frac{\pi}{2}$ et $\lim_{x\to-\infty}\arctan x = -\frac{\pi}{2}$. Ce sont les asymptotes horizontales de la courbe.

### Quelle est une primitive de arctan x ?

Une intégration par parties avec $u = \arctan x$ et $dv = dx$ donne $\int\arctan x\,dx = x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$.