# Fonction affine f(x) = mx + b : courbe, pente, dérivée et primitive

> La fonction affine f(x) = mx + b : pente et ordonnée à l'origine, sa droite représentative, pourquoi sa dérivée est la pente m, sa primitive et des exemples.

Source : https://practicecalculus.com/fr/fonctions/fonction-affine
Mis à jour : 2026-11-03

$$ f(x) = mx + b $$

## En bref

- **Domaine de définition:** $(-\infty, \infty)$
- **Ensemble image:** $(-\infty, \infty)$ si $m \ne 0$
- **Dérivée:** $m$
- **Primitive:** $\frac{m}{2}x^2 + bx + C$
- **Pente:** $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
- **Ordonnée à l'origine:** $(0, b)$

## À retenir

- Une fonction affine $f(x) = mx + b$ est représentée par une droite de pente $m$ et d'ordonnée à l'origine $b$ (intersection avec l'axe des $y$).
- Sa dérivée est la constante $m$ : une droite a le même taux de variation partout.
- Une primitive est $\frac{m}{2}x^2 + bx + C$, une fonction du second degré.
- Les tangentes et les approximations affines sont des fonctions affines construites à partir d'une dérivée.

Une **fonction affine** a un taux de variation constant : sa courbe représentative est donc une droite. Lorsqu'on l'écrit $f(x) = mx + b$, le nombre $m$ est la pente, ou coefficient directeur (de combien $f$ augmente par unité de $x$), et $b$ est l'ordonnée à l'origine, où la droite coupe l'axe des $y$ (la valeur en $x = 0$). Lorsque l'ordonnée à l'origine est nulle, on parle en France de fonction linéaire.

## Formule et différentes écritures

$$f(x) = mx + b$$

Une même droite peut s'écrire de plusieurs façons, selon ce que l'on connaît :

| Forme | Équation | À utiliser quand on connaît |
| --- | --- | --- |
| Équation réduite | $y = mx + b$ | la pente et l'ordonnée à l'origine (sur l'axe des $y$) |
| Point et pente | $y - y_1 = m(x - x_1)$ | la pente et un point |
| Équation cartésienne | $Ax + By = C$ | une équation à réorganiser |

La forme « point et pente » est celle que l'analyse utilise le plus, car une tangente se construit à partir d'un point $(a, f(a))$ et d'une pente $f'(a)$.

## Courbe d'une fonction affine

```graph
title: 'Courbes des fonctions affines y = 2x + 1 et y = -0.5x + 3'
caption: 'Une pente positive monte de gauche à droite et une pente négative descend. Chaque droite coupe l''axe des $y$ en son ordonnée à l''origine $b$.'
x: [-4, 4]
y: [-5, 7]
functions:
  - expr: 2x + 1
    label: y = 2x + 1
  - expr: -0.5x + 3
    label: y = -0.5x + 3
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
  - [0, 3, '(0, 3)']
```

- $m > 0$ : croissante. $m < 0$ : décroissante. $m = 0$ : une droite horizontale, la [fonction constante](/functions/constant-function).
- Plus $|m|$ est grand, plus la droite est raide.
- L'intersection avec l'axe des $x$ a lieu lorsque $mx + b = 0$, c'est-à-dire en $x = -\frac{b}{m}$ lorsque $m \ne 0$.

## Dérivée d'une fonction affine

$$\frac{d}{dx}(mx + b) = m$$

La dérivée de $mx$ est $m$ d'après la [règle de la puissance](/rules/power-rule) et la [règle du multiple constant](/rules/constant-multiple-rule), et la dérivée de $b$ est $0$. Cela correspond à la géométrie : la tangente à une droite est la droite elle-même, et sa pente ne change jamais. La dérivée seconde est $0$, donc une droite n'est ni convexe ni concave au sens strict.

## Primitive d'une fonction affine

$$\int (mx + b)\,dx = \frac{m}{2}x^2 + bx + C$$

Intégrer une fonction affine donne une [fonction du second degré](/functions/quadratic-function). Pour une intégrale définie sur $[a, b]$, la région sous une droite est un trapèze (ou deux triangles si la droite coupe l'axe), ce qui permet de vérifier tout résultat par la géométrie.

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : pente à partir de deux points.** Trouvons la droite passant par $(1, 3)$ et $(4, 9)$.

$$m = \frac{9 - 3}{4 - 1} = 2, \qquad y - 3 = 2(x - 1) \;\Rightarrow\; y = 2x + 1$$

**Exemple 2 : dérivée.** Si $f(x) = -4x + 7$, alors $f'(x) = -4$ pour tout $x$.

**Exemple 3 : intégrale définie.** Calculons $\int_0^2 (3x + 1)\,dx$.

$$\left[\tfrac{3}{2}x^2 + x\right]_0^2 = (6 + 2) - 0 = 8$$

Vérification : la région est un trapèze de côtés parallèles $f(0) = 1$ et $f(2) = 7$ et de largeur $2$, donc son aire vaut $\frac{1 + 7}{2} \cdot 2 = 8$.

**Exemple 4 : une tangente.** La tangente à $y = x^2$ en $x = 3$ a pour pente $2(3) = 6$ et passe par $(3, 9)$ : c'est donc la fonction affine $y = 6x - 9$.

## Erreurs fréquentes

1. **Inverser l'ordre dans la formule de la pente.** Gardez le même point en premier au numérateur et au dénominateur : $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, et non $\frac{y_2 - y_1}{x_1 - x_2}$.
2. **Dire que $f(x) = x^2 + 1$ est affine.** Affine signifie que la variable n'apparaît qu'à la puissance un.
3. **Intégrer $mx$ en $mx^2$.** La règle de la puissance à l'envers divise par le nouvel exposant : $\int mx\,dx = \frac{m}{2}x^2 + C$.
4. **Confondre « fonction affine » et « équation de droite ».** Une droite verticale $x = 2$ a bien une équation, mais elle ne représente pas une fonction.

## Liens avec le reste du programme

Les droites sont la raison d'être des dérivées : la dérivée en un point est la pente de la droite qui approche le mieux la courbe en ce point. Cette idée est à la base des [tangentes](/blog/limit-definition-of-the-derivative), de l'[approximation affine](/blog/linear-approximation) et de la méthode de Newton. Les fonctions affines sont les [fonctions polynômes](/functions/polynomial-functions) de degré un, et les intégrer conduit aux fonctions du second degré.

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée d'une fonction affine ?

La dérivée de $f(x) = mx + b$ est $f'(x) = m$, la pente de la droite. Une droite monte de la même quantité à chaque pas d'une unité en $x$, donc son taux de variation est constant.

### Quelle est la primitive de mx + b ?

On a $\int (mx + b)\,dx = \frac{m}{2}x^2 + bx + C$. On peut le vérifier en dérivant : la dérivée de $\frac{m}{2}x^2 + bx$ est $mx + b$.

### Comment trouver la pente d'une fonction affine à partir de deux points ?

On utilise $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. Pour les points $(1, 3)$ et $(4, 9)$, la pente vaut $\frac{9 - 3}{4 - 1} = 2$.

### Une droite horizontale représente-t-elle une fonction affine ?

Oui. Une droite horizontale $y = b$ représente une fonction affine de pente $m = 0$, qui est aussi une fonction constante. Une droite verticale $x = a$ ne représente pas du tout une fonction.