# Fonction constante f(x) = c : courbe, dérivée, primitive et propriétés > La fonction constante f(x) = c : sa courbe, une droite horizontale, pourquoi sa dérivée est nulle, sa primitive cx + C, ses limites et les erreurs fréquentes. Source : https://practicecalculus.com/fr/fonctions/fonction-constante Mis à jour : 2026-11-03 $$ f(x) = c $$ ## En bref - **Domaine de définition:** $(-\infty, \infty)$ - **Ensemble image:** La seule valeur $\{c\}$ - **Dérivée:** $0$ - **Primitive:** $cx + C$ - **Courbe:** Une droite horizontale passant par $(0, c)$ - **Pente:** $0$ partout ## À retenir - Une fonction constante $f(x) = c$ donne la même image pour toutes les valeurs de la variable : sa courbe est donc une droite horizontale. - La dérivée de toute constante est $0$, car une droite horizontale a une pente nulle. - Une primitive d'une constante est $\int c\,dx = cx + C$, l'aire d'un rectangle de hauteur $c$. - Le $c$ minuscule de la fonction et le $C$ majuscule d'une primitive sont deux constantes différentes. Une **fonction constante** renvoie le même nombre quelle que soit la valeur de départ. Notée $f(x) = c$, où $c$ est un réel fixé, c'est la fonction la plus simple de l'analyse et le point de départ de toutes les règles de dérivation et d'intégration. ## Définition et formule $$f(x) = c$$ Ici, $c$ peut être n'importe quel réel : $f(x) = 3$, $g(x) = -\tfrac{1}{2}$, $h(x) = \pi$. La variable $x$ n'apparaît pas dans le membre de droite, donc modifier $x$ ne change jamais le résultat. Dans la pratique, on rencontre par exemple un tarif fixe, l'accélération d'un mobile à vitesse constante (nulle), ou la valeur $f(a)$ une fois $a$ fixé. ## Courbe d'une fonction constante La courbe de $y = c$ est une **droite horizontale** qui coupe l'axe des $y$ en $(0, c)$. Tous ses points sont à la même hauteur. ```graph title: 'Courbes des fonctions constantes y = 3 et y = -2' caption: 'Chaque fonction constante est représentée par une droite horizontale. Sa pente, et donc sa dérivée, vaut $0$ partout.' x: [-5, 5] y: [-4, 5] functions: - expr: '3' label: y = 3 - expr: '-2' label: y = -2 points: - [0, 3, '(0, 3)'] - [0, -2, '(0, -2)'] ``` ## Dérivée d'une constante La dérivée d'une constante est nulle : $$\frac{d}{dx}\, c = 0$$ D'après la [définition de la dérivée par une limite](/blog/limit-definition-of-the-derivative) : $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{c - c}{h} = \lim_{h \to 0} 0 = 0$$ Géométriquement, une droite horizontale a une pente $0$, donc chaque tangente est la droite elle-même. Ce résultat est la [règle de la constante](/rules/constant-rule), et il explique pourquoi le terme constant d'un polynôme disparaît quand on dérive. ## Primitive d'une constante En sens inverse, une fonction dont la dérivée vaut $c$ est $cx$, donc $$\int c\,dx = cx + C$$ Pour une intégrale définie, l'aire sous $y = c$ entre $a$ et $b$ est celle d'un rectangle de hauteur $c$ et de largeur $b - a$ : $$\int_a^b c\,dx = c(b - a)$$ Si $c$ est négatif, le rectangle est sous l'axe et l'aire algébrique est négative. ## Propriétés principales - **Continue et dérivable partout.** Il n'y a ni saut, ni trou, ni point anguleux. - **Les limites sont immédiates.** $\lim_{x \to a} c = c$ pour tout $a$, et aussi $\lim_{x \to \pm\infty} c = c$. - **Fonction paire.** $f(-x) = f(x)$, donc la courbe est symétrique par rapport à l'axe des $y$. - **Ni strictement croissante ni strictement décroissante.** Elle est à la fois croissante et décroissante au sens large. - **Chaque point est à la fois un maximum et un minimum.** Comme la valeur ne change jamais, chaque $x$ donne à la fois la plus grande et la plus petite valeur. - **Polynôme de degré zéro.** Une constante non nulle s'écrit $cx^0$, le premier échelon des [fonctions polynômes](/functions/polynomial-functions). ## Exemples corrigés **Exemple 1.** Dérivons $f(x) = 7$. La dérivée est $f'(x) = 0$. **Exemple 2.** Dérivons $g(x) = 4x^2 + 9$. Par la règle de la somme, $g'(x) = 8x + 0 = 8x$. Le $9$ n'apporte rien. **Exemple 3.** Dérivons $y = \pi^2$. Même si cela paraît compliqué, $\pi^2 \approx 9.87$ n'est qu'un nombre, donc $y' = 0$. **Exemple 4.** Calculons $\int_1^4 5\,dx$. Une primitive est $5x$, donc la valeur est $5(4) - 5(1) = 15$, l'aire d'un rectangle $5 \times 3$. ## Erreurs fréquentes 1. **Traiter comme des variables des constantes qui ressemblent à des expressions.** $e^2$, $\ln 3$ et $\sin\frac{\pi}{6}$ sont des nombres, donc leurs dérivées valent $0$. Les élèves écrivent souvent par erreur $\frac{d}{dx}e^2 = e^2$. 2. **Oublier le $x$ en intégrant.** $\int 5\,dx = 5x + C$, et non $5 + C$. 3. **Confondre $c$ et $C$.** La constante d'intégration $C$ est nouvelle et arbitraire. Ce n'est pas le même nombre que le $c$ de $f(x) = c$. 4. **Faire disparaître un facteur constant.** La dérivée d'un *terme* constant est $0$, mais un *facteur* constant reste : $\frac{d}{dx}(5x) = 5$, et non $0$. Voir la [règle du multiple constant](/rules/constant-multiple-rule). ## Liens avec le reste du programme Une fonction constante est une [fonction affine](/functions/linear-function) de pente $0$, et le cas particulier $n = 0$ des [fonctions puissances](/functions/power-functions). Dans les applications, une dérivée nulle sur un intervalle indique que la fonction de départ y est constante, conséquence du [théorème des accroissements finis](/theorems/mean-value-theorem). C'est aussi pourquoi chaque primitive comporte un $+\,C$ : deux fonctions de même dérivée diffèrent d'une constante. Pour aller plus loin, lisez le guide sur les [primitives](/blog/antiderivatives). ## Questions fréquentes ### Quelle est la dérivée d'une constante ? La dérivée de toute constante est $0$. Une constante ne varie jamais, donc son taux de variation est nul, et la courbe de $y = c$ est une droite horizontale de pente $0$. ### Quelle est la primitive d'une constante ? Une primitive d'une constante $c$ est donnée par $\int c\,dx = cx + C$. Par exemple, $\int 5\,dx = 5x + C$, car la dérivée de $5x$ est $5$. ### Une fonction constante est-elle continue ? Oui. Une fonction constante est continue et dérivable en tout réel. Sa limite en n'importe quel point $a$ vaut simplement $c$. ### Une fonction constante est-elle un polynôme ? Oui. Une constante non nulle est un polynôme de degré $0$, puisque $c = cx^0$. La fonction nulle $f(x) = 0$ est aussi un polynôme, mais on ne lui attribue généralement pas de degré. ### Une fonction constante est-elle paire ou impaire ? Toute fonction constante est paire, car $f(-x) = c = f(x)$. Seule la fonction nulle est à la fois paire et impaire.