# Fonction cosinus cos(x) : courbe, dérivée, primitive et propriétés > La fonction cosinus cos(x) : sa courbe, son domaine, son image, sa période, ses valeurs remarquables, sa dérivée −sin(x), sa primitive sin(x) + C. Source : https://practicecalculus.com/fr/fonctions/fonction-cosinus Mis à jour : 2026-11-03 $$ f(x) = \cos x $$ ## En bref - **Domaine de définition:** $(-\infty, \infty)$ - **Ensemble image:** $[-1, 1]$ - **Dérivée:** $-\sin x$ - **Primitive:** $\sin x + C$ - **Période:** $2\pi$ - **Symétrie:** Paire : $\cos(-x) = \cos x$ ## À retenir - $\cos x$ est la coordonnée $x$ (l'abscisse) du point associé à l'angle $x$ (en radians) sur le cercle trigonométrique. - Le cosinus est pair, périodique de période $2\pi$ et reste compris entre $-1$ et $1$. - La dérivée de $\cos x$ est $-\sin x$, et $\int \cos x\,dx = \sin x + C$. La **fonction cosinus** prend un angle $x$, mesuré en radians, et renvoie la coordonnée $x$, c'est-à-dire l'abscisse, du point associé à cet angle sur le cercle trigonométrique. Sa courbe est la même onde que celle du [sinus](/functions/sine-function), décalée vers la gauche d'un quart de période : elle commence donc à son sommet et non à zéro. ## Définition de cos x Parcourez une distance $x$ dans le sens trigonométrique sur le cercle trigonométrique, en partant de $(1, 0)$. Le point atteint est $(\cos x, \sin x)$, donc $$\cos x = \text{la coordonnée } x\text{ du point d'angle } x.$$ Pour un angle aigu dans un triangle rectangle, c'est le rapport $\cos\theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$. ## Courbe de y = cos x ```graph title: 'Courbe de y = cos x de −2π à 2π' caption: 'Le cosinus commence à son maximum $\cos 0 = 1$, s''annule aux multiples impairs de $\frac{\pi}{2}$ et atteint $-1$ en $x = \pm\pi$.' x: [-6.6, 6.6] y: [-1.6, 1.6] functions: - expr: cos(x) label: y = cos x points: - [0, 1, '(0, 1)'] - [1.5708, 0, '(π/2, 0)'] - [3.1416, -1, '(π, −1)'] - [4.7124, 0, '(3π/2, 0)'] ``` ## Valeurs remarquables du cosinus | $x$ | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $\cos x$ | $1$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $1$ | Remarquez que cette ligne est celle du sinus lue à l'envers sur $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$, car $\cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$. ## Propriétés de la fonction cosinus - **Domaine de définition et ensemble image.** Elle est définie sur tous les réels et prend ses valeurs dans $[-1, 1]$. - **Période.** $\cos(x + 2\pi) = \cos x$, et $A\cos(bx)$ a pour amplitude $|A|$ et pour période $\frac{2\pi}{|b|}$. - **Zéros.** $\cos x = 0$ exactement lorsque $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ avec $k$ entier. Ce sont les points où la [tangente](/functions/tangent-function) et la sécante ont des asymptotes verticales. - **Parité.** $\cos(-x) = \cos x$. - **Identités.** $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, et la formule de duplication $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x$. ## Dérivée de cos x $$\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$$ Le signe moins se lit sur la courbe : juste après $x = 0$, le cosinus décroît, et $-\sin x$ y est négatif. En $x = \pi$, le cosinus atteint son minimum, et $-\sin\pi = 0$. La dérivée seconde est $-\cos x$, donc le cosinus, comme le sinus, vérifie $y'' = -y$. Avec la [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule), $\frac{d}{dx}\cos(u) = -\sin(u)\cdot u'$. ## Primitive de cos x $$\int \cos x\,dx = \sin x + C$$ Par exemple, $\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx = \sin\frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1$. ## Exemples corrigés **Exemple 1 : dérivation en chaîne.** Dérivons $f(x) = \cos(4x - 1)$. La dérivée de l'expression intérieure vaut $4$, donc $f'(x) = -4\sin(4x - 1)$. **Exemple 2 : puissance du cosinus.** Dérivons $g(x) = \cos^3 x = (\cos x)^3$. La puissance extérieure donne $3\cos^2 x$ et l'intérieur donne $-\sin x$ : $$g'(x) = -3\cos^2 x\sin x$$ **Exemple 3 : changement de variable.** Calculons $\int x\cos(x^2)\,dx$. Posons $u = x^2$, donc $du = 2x\,dx$ : $$\int x\cos(x^2)\,dx = \frac{1}{2}\int \cos u\,du = \frac{1}{2}\sin(x^2) + C$$ **Exemple 4 : une tangente.** En $x = \frac{\pi}{2}$, $\cos x = 0$ et la pente vaut $-\sin\frac{\pi}{2} = -1$. La tangente a pour équation $y = -\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$. ## Erreurs fréquentes 1. **Oublier le signe moins.** $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$, et non $\sin x$. Moyen mnémotechnique : les dérivées des fonctions en « co » (cosinus, cotangente, cosécante) portent toutes un signe moins. 2. **Ajouter un signe moins à la primitive.** $\int\cos x\,dx = \sin x + C$, sans signe moins. 3. **Mal lire $\cos^2 x$.** $\cos^2 x$ signifie $(\cos x)^2$, et non $\cos(\cos x)$ ni $\cos(x^2)$. 4. **Oublier la dérivée de l'intérieur.** $\frac{d}{dx}\cos(2x) = -2\sin(2x)$, et non $-\sin(2x)$. ## Liens entre le cosinus et d'autres notions Le cosinus est le dénominateur de la [tangente](/functions/tangent-function) et l'inverse de la sécante (voir [sécante, cosécante et cotangente](/functions/reciprocal-trig-functions)). Restreint à $[0, \pi]$, il admet pour réciproque l'[arc cosinus](/functions/arccosine). Plus tard dans le cours d'analyse, vous intégrerez des puissances du cosinus grâce à l'identité $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$, et vous rencontrerez sa [série de Taylor](/blog/taylor-series) $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$. Pour vous entraîner davantage à le dériver, consultez le guide sur les [dérivées des fonctions trigonométriques](/blog/derivatives-of-trig-functions). ## Questions fréquentes ### Quelle est la dérivée de cos x ? La dérivée de $\cos x$ est $-\sin x$. Avec la règle de dérivation en chaîne, $\frac{d}{dx}\cos(u) = -\sin(u)\,u'$. ### Quelle est la primitive de cos x ? Une primitive de $\cos x$ est $\sin x + C$, car la dérivée de $\sin x$ est $\cos x$. ### Le cosinus est-il pair ou impair ? Le cosinus est pair : $\cos(-x) = \cos x$. Sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des $y$. ### Quelle est la différence entre les courbes du sinus et du cosinus ? C'est la même onde décalée d'un quart de période : $\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$. Le cosinus commence à son maximum, $\cos 0 = 1$, tandis que le sinus commence à zéro.