# Fonction du second degré : parabole, sommet, dérivée et primitive

> La fonction du second degré f(x) = ax² + bx + c : parabole, formule du sommet, racines, dérivée 2ax + b, primitive et exemples corrigés.

Source : https://practicecalculus.com/fr/fonctions/fonction-du-second-degre
Mis à jour : 2026-11-03

$$ f(x) = ax^2 + bx + c, \quad a \ne 0 $$

## En bref

- **Domaine de définition:** $(-\infty, \infty)$
- **Ensemble image:** $\left[f\left(-\frac{b}{2a}\right), \infty\right)$ si $a > 0$
- **Dérivée:** $2ax + b$
- **Primitive:** $\frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx + C$
- **Sommet:** $x = -\frac{b}{2a}$
- **Racines:** $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

## À retenir

- La courbe de $f(x) = ax^2 + bx + c$ est une parabole tournée vers le haut si $a > 0$ et vers le bas si $a < 0$.
- La dérivée $f'(x) = 2ax + b$ s'annule au sommet $x = -\frac{b}{2a}$.
- La dérivée seconde est la constante $2a$, donc une fonction du second degré est convexe partout ou concave partout.
- Sa primitive est un polynôme de degré 3 : $\frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx + C$.

Une **fonction du second degré** est un polynôme de degré deux. Sa courbe est une **parabole**, une courbe symétrique en forme de U avec un seul extremum appelé le sommet. Ces fonctions modélisent la hauteur d'un projectile, une aire ou un bénéfice, et ce sont les premières courbes où la dérivée révèle quelque chose qu'une droite ne montre pas.

## Formule et différentes formes

$$f(x) = ax^2 + bx + c, \qquad a \ne 0$$

| Forme | Équation | Fait apparaître |
| --- | --- | --- |
| Développée | $ax^2 + bx + c$ | ordonnée à l'origine $c$ (axe des $y$) |
| Canonique | $a(x - h)^2 + k$ | sommet $(h, k)$ |
| Factorisée | $a(x - r_1)(x - r_2)$ | racines $r_1, r_2$ |

## Courbe d'une fonction du second degré

```graph
title: 'Parabole y = x² - 2x - 3 et sa dérivée y = 2x - 2'
caption: 'Le sommet est en $(1, -4)$, exactement là où la dérivée s''annule. Les racines sont $x = -1$ et $x = 3$.'
x: [-3, 5]
y: [-6, 8]
functions:
  - expr: x^2 - 2x - 3
    label: y = x² - 2x - 3
  - expr: 2x - 2
    label: y = 2x - 2 (dérivée)
    dashed: true
points:
  - [1, -4, 'sommet (1, -4)']
  - [-1, 0, '(-1, 0)']
  - [3, 0, '(3, 0)']
```

Caractéristiques principales :

- **Orientation.** Tournée vers le haut si $a > 0$ (le sommet est un minimum), vers le bas si $a < 0$ (le sommet est un maximum).
- **Axe de symétrie.** La droite verticale $x = -\frac{b}{2a}$.
- **Racines.** Données par la formule $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. Le discriminant $b^2 - 4ac$ indique s'il y a deux, une ou aucune racine réelle.
- **Ensemble image.** $\left[k, \infty\right)$ si $a > 0$ et $\left(-\infty, k\right]$ si $a < 0$, où $k$ est l'ordonnée du sommet.

## Dérivée d'une fonction du second degré

D'après la [règle de la puissance](/rules/power-rule) et la [règle de la somme](/rules/sum-and-difference-rule) :

$$f'(x) = 2ax + b, \qquad f''(x) = 2a$$

La dérivée d'une fonction du second degré est une [fonction affine](/functions/linear-function). Elle s'annule en un seul point, $x = -\frac{b}{2a}$, qui est le sommet. La dérivée seconde est la constante $2a$, donc la parabole est convexe partout lorsque $a > 0$ et concave partout lorsque $a < 0$. C'est pourquoi le sommet est toujours l'extremum global.

## Primitive d'une fonction du second degré

$$\int (ax^2 + bx + c)\,dx = \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx + C$$

Le $c$ minuscule est le terme constant du trinôme ; le $C$ majuscule est la constante d'intégration.

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : le sommet par la dérivée.** Pour $f(x) = x^2 - 2x - 3$, $f'(x) = 2x - 2 = 0$ donne $x = 1$, et $f(1) = -4$. Le sommet est $(1, -4)$, un minimum car $a = 1 > 0$.

**Exemple 2 : hauteur maximale.** La hauteur d'une balle est $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$ mètres. Alors $h'(t) = -10t + 20 = 0$ en $t = 2$, et la hauteur maximale est $h(2) = -20 + 40 + 1 = 21$ mètres.

**Exemple 3 : aire sous une parabole.** Calculons $\int_0^3 (x^2 + 1)\,dx$ :

$$\left[\tfrac{x^3}{3} + x\right]_0^3 = (9 + 3) - 0 = 12$$

**Exemple 4 : tangente.** Pour $f(x) = x^2 - 2x - 3$ en $x = 3$ : $f(3) = 0$ et $f'(3) = 4$, donc la tangente a pour équation $y = 4(x - 3) = 4x - 12$.

## Erreurs fréquentes

1. **Oublier le signe moins dans $-\frac{b}{2a}$.** Pour $x^2 - 2x - 3$, $b = -2$, donc le sommet est en $x = -\frac{-2}{2} = 1$.
2. **Dériver $ax^2$ en $ax$.** L'exposant descend : $\frac{d}{dx}3x^2 = 6x$.
3. **Intégrer $x^2$ en $\frac{x^3}{2}$.** Il faut diviser par le nouvel exposant, $3$.
4. **Développer $(x - 2)^2$ en $x^2 + 4$.** Le développement correct est $x^2 - 4x + 4$.

## Liens avec le reste du cours

Les fonctions du second degré sont les [fonctions polynômes](/functions/polynomial-functions) courbées les plus simples : ce sont donc les premiers exemples classiques pour les [problèmes d'optimisation](/blog/optimization-problems), l'[étude de fonctions](/blog/curve-sketching-with-derivatives) et l'[aire entre deux courbes](/blog/area-between-curves). Le polynôme de Taylor d'ordre deux de toute fonction lisse est du second degré, ce qui explique pourquoi les paraboles approchent si bien tant de courbes au voisinage d'un point.

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée d'une fonction du second degré ?

La dérivée de $ax^2 + bx + c$ est $2ax + b$, obtenue terme à terme avec la règle de la puissance. Par exemple, la dérivée de $3x^2 - 5x + 2$ est $6x - 5$.

### Comment trouver le sommet d'une parabole avec la dérivée ?

On annule la dérivée : $2ax + b = 0$ donne $x = -\frac{b}{2a}$. On remplace ce $x$ dans $f$ pour obtenir l'ordonnée $y$ du sommet.

### Comment intégrer une fonction du second degré ?

On applique la règle de la puissance à l'envers sur chaque terme : $\int (ax^2 + bx + c)\,dx = \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx + C$.

### Comment savoir si une parabole est tournée vers le haut ou vers le bas ?

On regarde le signe de $a$, le coefficient de $x^2$. Si $a > 0$, elle est tournée vers le haut et le sommet est un minimum ; si $a < 0$, elle est tournée vers le bas et le sommet est un maximum.