# Fonction exponentielle eˣ : courbe, dérivée, primitive et nombre e > La fonction exponentielle e^x : ce qu'est le nombre e, sa courbe, pourquoi elle est sa propre dérivée et primitive, limites, série et exemples. Source : https://practicecalculus.com/fr/fonctions/fonction-exponentielle Mis à jour : 2026-11-03 $$ f(x) = e^x $$ ## En bref - **Domaine de définition:** $(-\infty, \infty)$ - **Ensemble image:** $(0, \infty)$ - **Dérivée:** $e^x$ - **Primitive:** $e^x + C$ - **Valeur de e:** $e \approx 2.71828$ - **Réciproque:** $\ln x$ - **Asymptote:** $y = 0$ quand $x \to -\infty$ ## À retenir - La fonction exponentielle $e^x$ a pour base $e \approx 2.71828$. - C'est la seule fonction (à un facteur constant près) égale à sa propre dérivée : $\frac{d}{dx}e^x = e^x$. - Une primitive est $e^x + C$, et avec la règle de dérivation en chaîne, $\frac{d}{dx}e^{g(x)} = e^{g(x)}g'(x)$. - $e^x$ est toujours strictement positive, toujours croissante, et c'est la réciproque de $\ln x$. La **fonction exponentielle** $f(x) = e^x$, notée aussi exp, est la fonction exponentielle dont la base est le nombre d'Euler $e \approx 2.71828$. C'est la fonction la plus importante de l'analyse, car elle est sa propre dérivée : la vitesse à laquelle $e^x$ croît est toujours égale à sa valeur actuelle. ## Formule et nombre e $$f(x) = e^x, \qquad e = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2.71828$$ Toute [fonction exponentielle](/functions/exponential-functions) $b^x$ a en $x = 0$ une pente proportionnelle à sa hauteur. La base $e$ est l'unique choix qui rend la pente en $x = 0$ exactement égale à $1$, et c'est pourquoi les dérivées de $e^x$ sont si simples. ## Courbe de eˣ ```graph title: 'Courbe de la fonction exponentielle y = eˣ' caption: 'La courbe passe par $(0, 1)$ avec une pente $1$. La tangente en pointillés $y = x + 1$ montre cette pente ; la courbe reste au-dessus partout.' x: [-4, 2.5] y: [-1, 8] functions: - expr: e^x label: y = eˣ - expr: x + 1 label: tangente y = x + 1 dashed: true points: - [0, 1, '(0, 1)'] - [1, 2.718, '(1, e)'] ``` ## Propriétés principales - **Domaine de définition** : tous les réels ; **ensemble image** : $(0, \infty)$. $e^x$ est toujours strictement positive. - **Toujours croissante** et **toujours convexe**, puisque $f'(x) = f''(x) = e^x > 0$. - **Asymptote horizontale** $y = 0$ : $\lim_{x \to -\infty}e^x = 0$, tandis que $\lim_{x \to \infty}e^x = \infty$. - **Réciproque du logarithme népérien :** $e^{\ln x} = x$ pour $x > 0$ et $\ln(e^x) = x$ pour tout $x$. Voir le [logarithme népérien](/functions/natural-logarithm). - **Règles de calcul sur les exposants :** $e^{a+b} = e^ae^b$, $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$, $(e^a)^b = e^{ab}$, $e^0 = 1$. - **Croît plus vite que toute puissance :** $\lim_{x \to \infty}\frac{x^n}{e^x} = 0$ pour tout $n$ (croissances comparées). - **Série entière :** $e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$, valable pour tout $x$. ## Dérivée de eˣ $$\frac{d}{dx}e^x = e^x$$ Avec la [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule) : $$\frac{d}{dx}e^{g(x)} = e^{g(x)}\,g'(x)$$ L'exposant ne descend jamais devant. Cela, c'est la [règle de la puissance](/rules/power-rule), qui ne s'applique pas ici. ## Primitive de eˣ $$\int e^x\,dx = e^x + C, \qquad \int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C \quad (k \ne 0)$$ ## Exemples corrigés **Exemple 1.** $\frac{d}{dx}e^{3x} = 3e^{3x}$. **Exemple 2 : dérivation en chaîne.** $\frac{d}{dx}e^{x^2} = 2x\,e^{x^2}$. **Exemple 3 : règle du produit.** $\frac{d}{dx}\left(x e^x\right) = e^x + xe^x = (1 + x)e^x$. **Exemple 4 : intégrale définie.** $\int_0^{\ln 2}e^x\,dx = e^{\ln 2} - e^0 = 2 - 1 = 1$. **Exemple 5 : changement de variable.** Avec $u = x^2$, $\int 2x\,e^{x^2}\,dx = e^{x^2} + C$. **Exemple 6 : croissance exponentielle.** La solution de $y' = ky$ vérifiant $y(0) = y_0$ est $y = y_0e^{kt}$. C'est pourquoi $e$ apparaît dans la croissance des populations, la désintégration radioactive et les intérêts composés en continu. ## Erreurs fréquentes 1. **Utiliser la règle de la puissance.** $\frac{d}{dx}e^x \ne xe^{x-1}$. 2. **Oublier le facteur de la dérivation en chaîne.** $\frac{d}{dx}e^{5x} = 5e^{5x}$, et non $e^{5x}$. 3. **Intégrer $e^{kx}$ sans diviser par $k$.** $\int e^{4x}\,dx = \frac{1}{4}e^{4x} + C$. 4. **Traiter $e^2$ comme une variable.** $e^2$ est une constante, donc sa dérivée est $0$. 5. **Écrire $e^{a+b} = e^a + e^b$.** Les exposants s'additionnent lorsqu'on multiplie : $e^{a+b} = e^ae^b$. ## Liens avec le reste du programme $e^x$ est la réciproque de $\ln x$ et la brique de base des [fonctions hyperboliques](/functions/hyperbolic-functions). Toute exponentielle peut se réécrire en base $e$ : $b^x = e^{x\ln b}$. Pour un guide complet avec davantage d'exercices, lisez le guide sur les [dérivées des fonctions exponentielles et logarithmes](/blog/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions), et consultez les [séries de Taylor](/blog/taylor-series) pour son développement en série. ## Questions fréquentes ### Quelle est la dérivée de e^x ? La dérivée de $e^x$ est $e^x$. En tout point, la pente de la courbe est égale à sa hauteur : c'est la propriété qui définit la base $e$. ### Quelle est la primitive de e^x ? $\int e^x\,dx = e^x + C$. Plus généralement, $\int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$ pour toute constante $k \ne 0$. ### Qu'est-ce que le nombre e ? Le nombre $e \approx 2.71828$ est la limite $\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$. De manière équivalente, c'est l'unique base pour laquelle l'exponentielle $b^x$ a une pente exactement égale à $1$ en $x = 0$. ### Quelle est la dérivée de e^(2x) ? Par la règle de dérivation en chaîne, $\frac{d}{dx}e^{2x} = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}$. On multiplie par la dérivée de l'exposant. ### e^x peut-elle être nulle ou négative ? Non. $e^x > 0$ pour tout réel $x$. Elle tend vers $0$ quand $x \to -\infty$ sans jamais l'atteindre, donc $y = 0$ est une asymptote horizontale.