# Fonction inverse f(x) = 1/x : courbe, dérivée, primitive et limites

> La fonction inverse 1/x : son hyperbole et ses asymptotes, la dérivée -1/x², pourquoi sa primitive est ln|x| + C, et ses limites à gauche et à droite en 0.

Source : https://practicecalculus.com/fr/fonctions/fonction-inverse
Mis à jour : 2026-11-03

$$ f(x) = \frac{1}{x} $$

## En bref

- **Domaine de définition:** $x \ne 0$
- **Ensemble image:** $y \ne 0$
- **Dérivée:** $-\frac{1}{x^2}$
- **Primitive:** $\ln|x| + C$
- **Asymptotes:** $x = 0$ et $y = 0$
- **Symétrie:** Impaire : $f(-x) = -f(x)$

## À retenir

- La fonction inverse $f(x) = \frac{1}{x}$ est définie pour tout $x$ sauf $0$ et sa courbe est une hyperbole.
- Sa dérivée est $-\frac{1}{x^2}$, négative partout, donc elle est décroissante sur chaque intervalle de son domaine.
- Sa primitive est $\ln|x| + C$, le seul cas que la règle de la puissance pour les primitives ne traite pas.
- Les limites à droite et à gauche en $0$ valent $+\infty$ et $-\infty$, donc $\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}$ n'existe pas.

La **fonction inverse** $f(x) = \frac{1}{x}$ associe à chaque nombre son inverse. C'est la [fonction rationnelle](/functions/rational-functions) la plus simple, la fonction puissance d'exposant $-1$, et l'exemple de référence pour les limites infinies, les asymptotes et la dérivée du logarithme népérien.

## Formule

$$f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1}, \qquad x \ne 0$$

## Courbe de 1/x

La courbe est une **hyperbole** à deux branches, l'une dans le premier quadrant et l'autre dans le troisième.

```graph
title: 'Courbe de la fonction inverse y = 1/x'
caption: 'La courbe s''approche de l''asymptote verticale $x = 0$ et de l''asymptote horizontale $y = 0$ sans jamais les toucher.'
x: [-5, 5]
y: [-5, 5]
functions:
  - expr: 1/x
    label: y = 1/x
points:
  - [1, 1, '(1, 1)']
  - [-1, -1, '(-1, -1)']
vertical:
  - {x: 0, label: 'x = 0'}
```

## Propriétés principales

- **Domaine de définition et ensemble image.** Tous les réels sauf $0$, dans les deux cas.
- **Fonction impaire.** $\frac{1}{-x} = -\frac{1}{x}$, donc la courbe est symétrique par rapport à l'origine.
- **Asymptotes.** Asymptote verticale $x = 0$, asymptote horizontale $y = 0$.
- **Elle est sa propre réciproque.** En résolvant $y = \frac{1}{x}$ en $x$, on obtient $x = \frac{1}{y}$, donc $f^{-1} = f$ et la courbe est symétrique par rapport à la droite $y = x$.
- **Discontinue seulement en $0$,** qui n'appartient pas au domaine. Elle est continue sur son domaine de définition.

## Limites de 1/x

$$\lim_{x \to 0^+}\frac{1}{x} = +\infty, \qquad \lim_{x \to 0^-}\frac{1}{x} = -\infty, \qquad \lim_{x \to \pm\infty}\frac{1}{x} = 0$$

Comme les limites à gauche et à droite en $0$ sont différentes, $\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}$ n'existe pas. La limite à l'infini est la brique de base des [limites à l'infini](/blog/limits-at-infinity) de toutes les fonctions rationnelles.

## Dérivée de 1/x

$$\frac{d}{dx}\,\frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2}$$

Cela découle de la [règle de la puissance](/rules/power-rule) avec $n = -1$. La dérivée est négative partout où elle est définie, donc la fonction est décroissante sur chaque branche, et les tangentes deviennent plus raides près de $0$ et plus plates loin de l'origine. La dérivée seconde est $\frac{2}{x^3}$ : la fonction est convexe pour $x > 0$ et concave pour $x < 0$.

## Primitive de 1/x

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

La règle de la puissance pour les primitives donnerait $\frac{x^0}{0}$, qui n'est pas défini : $\frac{1}{x}$ est donc la seule puissance dont la primitive est un [logarithme népérien](/functions/natural-logarithm). La valeur absolue couvre le cas $x$ négatif : pour $x < 0$, $\frac{d}{dx}\ln(-x) = \frac{-1}{-x} = \frac{1}{x}$.

Une intégrale définie ne peut pas traverser $x = 0$ : $\int_{-1}^{1}\frac{1}{x}\,dx$ est une [intégrale impropre](/blog/improper-integrals) divergente.

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : tangente.** En $x = 2$, $f(2) = \frac{1}{2}$ et $f'(2) = -\frac{1}{4}$, donc la tangente a pour équation $y = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}(x - 2) = -\frac{1}{4}x + 1$.

**Exemple 2 : intégrale définie.** $\int_1^e \frac{1}{x}\,dx = \ln e - \ln 1 = 1$.

**Exemple 3 : une fonction inverse décalée.** $\frac{d}{dx}\frac{3}{x - 1} = -\frac{3}{(x - 1)^2}$ et $\int \frac{3}{x - 1}\,dx = 3\ln|x - 1| + C$.

## Erreurs fréquentes

1. **Écrire $\int \frac{1}{x}\,dx = \frac{x^0}{0}$** ou $\ln x$ sans la valeur absolue.
2. **Se tromper de signe dans la dérivée.** $\frac{d}{dx}\frac{1}{x}$ vaut $-\frac{1}{x^2}$, et non $\frac{1}{x^2}$.
3. **Confondre $\frac{1}{x}$, écrit $x^{-1}$, avec une fonction réciproque.** $\frac{1}{f(x)}$ est un inverse au sens de la division, tandis que $f^{-1}(x)$ désigne en général la fonction réciproque. Pour $\frac{1}{x}$, les deux coïncident, ce qui est exceptionnel.
4. **Intégrer à travers l'asymptote** comme si la fonction y était continue.

## Liens avec le reste du cours

L'aire sous la courbe de $\frac{1}{t}$ entre $1$ et $x$ vaut exactement $\ln x$, ce qui est une façon de définir le logarithme népérien. La page sur les [fonctions puissances](/functions/power-functions) présente la famille $x^n$ à laquelle appartient $\frac{1}{x}$, et la série harmonique $\sum \frac{1}{n}$ en est la cousine discrète.

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée de 1/x ?

On écrit $\frac{1}{x} = x^{-1}$ et on applique la règle de la puissance : $\frac{d}{dx}x^{-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

### Quelle est la primitive de 1/x ?

On a $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$. La règle de la puissance pour les primitives échoue ici car elle diviserait par $n + 1 = 0$. La valeur absolue rend la formule valable aussi pour $x$ négatif.

### Quelle est la limite de 1/x quand x tend vers 0 ?

La limite n'existe pas. À droite, $\frac{1}{x} \to +\infty$ et à gauche, $\frac{1}{x} \to -\infty$ : les deux limites à gauche et à droite sont différentes.

### La fonction 1/x est-elle décroissante ?

Elle est décroissante sur $(-\infty, 0)$ et sur $(0, \infty)$ séparément, puisque sa dérivée est négative. Elle n'est pas décroissante sur tout son domaine, car $\frac{1}{-1} = -1 < 1 = \frac{1}{1}$.