# Fonction racine carrée √x : courbe, domaine, dérivée et primitive

> La fonction racine carrée f(x) = √x : domaine et courbe, la dérivée 1/(2√x), la primitive (2/3)x^(3/2) + C et la tangente verticale en 0.

Source : https://practicecalculus.com/fr/fonctions/fonction-racine-carree
Mis à jour : 2026-11-03

$$ f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2} $$

## En bref

- **Domaine de définition:** $[0, \infty)$
- **Ensemble image:** $[0, \infty)$
- **Dérivée:** $\frac{1}{2\sqrt{x}}$
- **Primitive:** $\frac{2}{3}x^{3/2} + C$
- **Non dérivable en:** $x = 0$ (tangente verticale)
- **Réciproque:** $x^2$ pour $x \ge 0$

## À retenir

- La fonction racine carrée $\sqrt{x} = x^{1/2}$ n'est définie que pour $x \ge 0$ et renvoie la racine positive.
- Sa dérivée est $\frac{1}{2\sqrt{x}}$, qui tend vers l'infini en $x = 0$ : la courbe y a une tangente verticale.
- Sa primitive est $\frac{2}{3}x^{3/2} + C$, d'après la règle de la puissance pour les primitives.
- Réécrivez les racines sous forme de puissances fractionnaires avant de dériver ou d'intégrer.

La **fonction racine carrée** $f(x) = \sqrt{x}$ renvoie le nombre positif ou nul dont le carré vaut $x$. C'est la réciproque de $x^2$ sur $x \ge 0$, la fonction puissance d'exposant $\frac{1}{2}$, et l'exemple classique d'une fonction continue en un point mais non dérivable en ce point.

## Formule

$$f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}, \qquad x \ge 0$$

Par convention, $\sqrt{x}$ désigne la racine **principale** (positive ou nulle), donc $\sqrt{9} = 3$, et non $\pm 3$. Par conséquent, $\sqrt{x^2} = |x|$ pour tout réel $x$.

## Courbe de la fonction racine carrée

```graph
title: 'Courbe de y = √x et de sa dérivée y = 1/(2√x)'
caption: 'La racine carrée croît vite près de $0$ puis s''aplatit. Sa dérivée est très grande près de $0$ et diminue vers $0$ quand $x$ augmente.'
x: [-0.5, 9]
y: [-0.5, 4]
functions:
  - expr: sqrt(x)
    label: y = √x
  - expr: 1/(2sqrt(x))
    label: y = 1/(2√x) (dérivée)
    dashed: true
points:
  - [0, 0, '(0, 0)']
  - [4, 2, '(4, 2)']
```

## Propriétés principales

- **Domaine de définition et ensemble image :** tous deux égaux à $[0, \infty)$.
- **Strictement croissante** sur tout son domaine, puisque sa dérivée est positive pour $x > 0$.
- **Concave :** $f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} < 0$ pour $x > 0$, donc elle croît de plus en plus lentement.
- **Continue à droite en $0$**, avec $\lim_{x \to 0^+}\sqrt{x} = 0$.
- **Non dérivable en $0$**, où la tangente est verticale.
- **Non bornée mais lente :** $\sqrt{x} \to \infty$ quand $x \to \infty$, moins vite que toute puissance $x^p$ avec $p > \frac{1}{2}$.
- **Symétrique d'une parabole :** la courbe est la moitié droite de $y = x^2$, réfléchie par rapport à la droite $y = x$.

## Dérivée de √x

En appliquant la [règle de la puissance](/rules/power-rule) à $x^{1/2}$ :

$$\frac{d}{dx}\sqrt{x} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}, \qquad x > 0$$

Avec la [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule), on obtient la formule générale

$$\frac{d}{dx}\sqrt{g(x)} = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}$$

## Primitive de √x

$$\int \sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$$

On ajoute un à l'exposant ($\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$) et on divise par $\frac{3}{2}$, ce qui revient à multiplier par $\frac{2}{3}$.

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : tangente.** En $x = 4$, $f(4) = 2$ et $f'(4) = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$. La tangente a pour équation $y = 2 + \frac{1}{4}(x - 4) = \frac{1}{4}x + 1$.

**Exemple 2 : approximation affine.** Avec cette tangente, $\sqrt{4.2} \approx \frac{1}{4}(4.2) + 1 = 2.05$. La valeur exacte est d'environ $2.0494$. Voir l'[approximation affine](/blog/linear-approximation).

**Exemple 3 : règle de dérivation en chaîne.** $\frac{d}{dx}\sqrt{3x + 1} = \frac{3}{2\sqrt{3x + 1}}$.

**Exemple 4 : intégrale définie.** $\int_0^4 \sqrt{x}\,dx = \left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_0^4 = \frac{2}{3}(8) = \frac{16}{3}$.

**Exemple 5 : domaine de définition.** $\sqrt{4 - x^2}$ exige $4 - x^2 \ge 0$, donc le domaine est $[-2, 2]$. Sa courbe est le demi-cercle supérieur du cercle $x^2 + y^2 = 4$.

## Erreurs fréquentes

1. **Couper une racine sur une somme.** $\sqrt{x^2 + 9} \ne x + 3$. Les racines se séparent sur les produits, $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ pour $a, b \ge 0$, mais jamais sur les sommes.
2. **Écrire la dérivée $\frac{1}{\sqrt{x}}$ ou $2\sqrt{x}$.** Le facteur est $\frac{1}{2}$ et la racine reste au dénominateur.
3. **Obtenir $\frac{3}{2}x^{3/2}$ en intégrant.** Il faut diviser par $\frac{3}{2}$, pas multiplier.
4. **Croire que $\sqrt{x^2} = x$.** Cela vaut $|x|$, ce qui compte lorsque $x$ peut être négatif.

## Liens avec le reste du cours

Les racines carrées apparaissent dans la longueur d'arc, les formules de distance et les intégrales par [changement de variable trigonométrique](/blog/trig-substitution) comme $\int \sqrt{1 - x^2}\,dx$. Elles font partie des [fonctions puissances](/functions/power-functions), et l'égalité $\sqrt{x^2} = |x|$ les relie à la [fonction valeur absolue](/functions/absolute-value-function).

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée de racine de x ?

On écrit $\sqrt{x} = x^{1/2}$ et on applique la règle de la puissance : $\frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Elle est définie pour $x > 0$.

### Quelle est la primitive de racine de x ?

$\int \sqrt{x}\,dx = \int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$.

### La fonction racine carrée est-elle dérivable en 0 ?

Non. La dérivée $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ tend vers l'infini quand $x \to 0^+$, donc la courbe a une tangente verticale à l'origine et aucune pente finie en ce point.

### Quel est le domaine de définition de la fonction racine carrée ?

Le domaine de définition est $x \ge 0$, car un nombre négatif n'a pas de racine carrée réelle. Pour $\sqrt{g(x)}$, on résout $g(x) \ge 0$.

### Comment dériver la racine carrée d'une fonction ?

On applique la règle de dérivation en chaîne : $\frac{d}{dx}\sqrt{g(x)} = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}$. Par exemple, $\frac{d}{dx}\sqrt{x^2 + 1} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$.