# Fonction sinus sin(x) : courbe, dérivée, primitive et propriétés > La fonction sinus sin(x) : courbe, domaine, période, valeurs remarquables, dérivée cos(x), primitive et erreurs fréquentes à éviter. Source : https://practicecalculus.com/fr/fonctions/fonction-sinus Mis à jour : 2026-11-03 $$ f(x) = \sin x $$ ## En bref - **Domaine de définition:** $(-\infty, \infty)$ - **Ensemble image:** $[-1, 1]$ - **Dérivée:** $\cos x$ - **Primitive:** $-\cos x + C$ - **Période:** $2\pi$ - **Symétrie:** Impaire : $\sin(-x) = -\sin x$ ## À retenir - $\sin x$ est l'ordonnée $y$ du point du cercle trigonométrique associé à l'angle $x$ (en radians). - Elle est périodique de période $2\pi$, reste comprise entre $-1$ et $1$, et c'est une fonction impaire. - La dérivée de $\sin x$ est $\cos x$, et $\int \sin x\,dx = -\cos x + C$. - Les formules d'analyse sur le sinus ne sont valables que si $x$ est mesuré en radians. La **fonction sinus** prend un angle $x$, mesuré en radians, et renvoie l'ordonnée $y$ du point du cercle trigonométrique associé à cet angle. Elle produit l'onde lisse et périodique qui décrit le son, la lumière, les marées et tout ce qui oscille, et c'est l'une des deux briques de base (avec le [cosinus](/functions/cosine-function)) de toutes les autres fonctions trigonométriques. ## Définition de sin x Partez du point $(1, 0)$ du cercle trigonométrique et parcourez une distance $x$ dans le sens direct (dans le sens indirect si $x$ est négatif). Vous arrivez au point $(\cos x, \sin x)$. Ainsi $$\sin x = \text{la coordonnée } y\text{ du point d'angle } x.$$ Autrement dit, le sinus est l'ordonnée du point associé à cet angle. Dans un triangle rectangle, on retrouve le rapport bien connu $\sin\theta = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$ (côté opposé sur hypoténuse), mais la définition par le cercle trigonométrique fonctionne pour tout réel, y compris les angles négatifs et les angles supérieurs à $2\pi$. ## Courbe de y = sin x ```graph title: 'Courbe de y = sin x de −2π à 2π' caption: 'La sinusoïde s''annule en chaque multiple de $\pi$, atteint son maximum $1$ et son minimum $-1$. Elle se répète tous les $2\pi$.' x: [-6.6, 6.6] y: [-1.6, 1.6] functions: - expr: sin(x) label: y = sin x points: - [0, 0, '(0, 0)'] - [1.5708, 1, '(π/2, 1)'] - [3.1416, 0, '(π, 0)'] - [4.7124, -1, '(3π/2, −1)'] ``` La courbe passe par l'origine, monte jusqu'à son maximum en $x = \frac{\pi}{2}$, revient à zéro en $x = \pi$, atteint son minimum en $x = \frac{3\pi}{2}$ et termine un cycle complet en $x = 2\pi$. ## Valeurs remarquables du sinus | $x$ | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $\sin x$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ | ## Propriétés de la fonction sinus - **Domaine de définition et ensemble image.** Tous les réels sont permis, et le résultat est toujours dans $[-1, 1]$. - **Période.** $\sin(x + 2\pi) = \sin x$. Plus généralement, $A\sin(bx)$ a pour amplitude $|A|$ et pour période $\frac{2\pi}{|b|}$. - **Zéros.** $\sin x = 0$ exactement lorsque $x = k\pi$ avec $k$ entier. - **Imparité.** $\sin(-x) = -\sin x$, donc la courbe est symétrique par rapport à l'origine. - **Relation fondamentale.** $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ pour tout $x$. - **Relation de décalage.** $\sin x = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$ : la sinusoïde est la courbe du cosinus décalée de $\frac{\pi}{2}$ vers la droite. ## Dérivée de sin x $$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$$ On peut le lire sur la courbe : le sinus est le plus pentu (pente $1$) en $x = 0$, où $\cos 0 = 1$, et horizontal à son sommet $x = \frac{\pi}{2}$, où $\cos\frac{\pi}{2} = 0$. La démonstration utilise la limite $\lim_{h \to 0}\frac{\sin h}{h} = 1$, c'est pourquoi les radians sont indispensables. En dérivant à nouveau, on obtient $\frac{d^2}{dx^2}\sin x = -\sin x$, et les dérivées successives parcourent le cycle $\sin, \cos, -\sin, -\cos$ toutes les quatre étapes. Avec la [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule), $\frac{d}{dx}\sin(u) = \cos(u)\cdot u'$. ## Primitive de sin x $$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$$ On vérifie en dérivant : $\frac{d}{dx}(-\cos x) = -(-\sin x) = \sin x$. Sur une arche, l'aire vaut $\int_0^{\pi}\sin x\,dx = -\cos\pi + \cos 0 = 2$, et sur une période complète l'aire algébrique vaut $\int_0^{2\pi}\sin x\,dx = 0$. ## Exemples corrigés **Exemple 1 : règle de dérivation en chaîne.** Dériver $f(x) = \sin(x^2)$. La fonction intérieure est $x^2$, de dérivée $2x$, donc $f'(x) = 2x\cos(x^2)$. **Exemple 2 : règle du produit.** Dériver $g(x) = x\sin x$. Par la [règle du produit](/rules/product-rule), $g'(x) = \sin x + x\cos x$. **Exemple 3 : changement de variable.** Calculer $\int \sin(5x)\,dx$. On pose $u = 5x$, donc $du = 5\,dx$ : $$\int \sin(5x)\,dx = \frac{1}{5}\int \sin u\,du = -\frac{1}{5}\cos(5x) + C$$ **Exemple 4 : une limite célèbre.** $\lim_{x \to 0}\frac{\sin(3x)}{x} = 3\lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{3x} = 3 \cdot 1 = 3$. ## Erreurs fréquentes 1. **Mauvais signe dans la primitive.** $\int\sin x\,dx$ vaut $-\cos x + C$, et non $\cos x + C$. La dérivée n'a pas de signe moins ; la primitive en a un. 2. **Travailler en degrés.** $\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$ est faux si $x$ est en degrés. Réglez votre calculatrice en radians. 3. **Traiter $\sin$ comme une multiplication.** $\sin(2x) \ne 2\sin x$ et $\sin(a + b) \ne \sin a + \sin b$. 4. **Confondre $\sin^{-1}x$ avec $\frac{1}{\sin x}$.** $\sin^{-1}x$ désigne la fonction réciproque [arc sinus](/functions/arcsine), tandis que $\frac{1}{\sin x}$ est la [cosécante](/functions/reciprocal-trig-functions). ## Liens du sinus avec d'autres notions Le sinus et le cosinus définissent le reste de la famille : la [tangente](/functions/tangent-function) vaut $\frac{\sin x}{\cos x}$, et la sécante, la cosécante et la cotangente sont des inverses. Sa réciproque sur $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ est l'[arc sinus](/functions/arcsine). En Analyse 2, le sinus intervient dans le [changement de variable trigonométrique](/blog/trig-substitution) et possède la [série de Taylor](/blog/taylor-series) $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$. Pour savoir dériver toutes les fonctions trigonométriques, lisez le guide sur les [dérivées des fonctions trigonométriques](/blog/derivatives-of-trig-functions). ## Questions fréquentes ### Quelle est la dérivée de sin x ? La dérivée de $\sin x$ est $\cos x$. Avec la règle de dérivation en chaîne, $\frac{d}{dx}\sin(u) = \cos(u)\,u'$, donc par exemple $\frac{d}{dx}\sin(3x) = 3\cos(3x)$. ### Quelle est la primitive de sin x ? Une primitive de $\sin x$ est $-\cos x + C$. Le signe moins vient du fait que la dérivée de $\cos x$ est $-\sin x$. ### Quelle est la période de sin x ? La période est $2\pi$, donc $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ pour tout $x$. La fonction $\sin(bx)$ a pour période $\frac{2\pi}{|b|}$. ### Pourquoi x doit-il être en radians pour dériver le sinus ? La limite fondamentale $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$ n'est vraie qu'en radians. En degrés, la dérivée du sinus comporterait un facteur supplémentaire $\frac{\pi}{180}$. ### Le sinus est-il une fonction paire ou impaire ? Le sinus est impair : $\sin(-x) = -\sin x$. Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.