# Fonction tangente tan(x) : courbe, asymptotes, dérivée et primitive

> La fonction tangente tan(x) = sin(x)/cos(x) : sa courbe, ses asymptotes verticales, sa période π, sa dérivée, sa primitive ln|sec x| + C et des exemples.

Source : https://practicecalculus.com/fr/fonctions/fonction-tangente
Mis à jour : 2026-11-03

$$ f(x) = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $$

## En bref

- **Domaine de définition:** $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$
- **Ensemble image:** $(-\infty, \infty)$
- **Dérivée:** $\sec^2 x$
- **Primitive:** $\ln\lvert\sec x\rvert + C$
- **Période:** $\pi$
- **Asymptotes:** $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, $k$ entier

## À retenir

- $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ est la pente de la droite qui relie l'origine au point du cercle trigonométrique associé à l'angle $x$.
- Elle a pour période $\pi$ et admet des asymptotes verticales partout où $\cos x = 0$.
- Sa dérivée est $\sec^2 x$ et sa primitive est $\ln|\sec x| + C = -\ln|\cos x| + C$.

La **fonction tangente** est le quotient $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Géométriquement, c'est la pente de la droite qui relie l'origine au point du cercle trigonométrique associé à l'angle $x$. Contrairement au [sinus](/functions/sine-function) et au [cosinus](/functions/cosine-function), elle n'est pas bornée et admet une asymptote verticale chaque fois que le cosinus s'annule.

## Définition de tan x

$$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}, \qquad \cos x \ne 0$$

Dans un triangle rectangle, c'est $\frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$ (côté opposé sur côté adjacent). Comme la droite passant par l'origine avec l'angle $x$ a pour pente $\tan x$, la tangente permet de convertir un angle en pente, et l'[arc tangente](/functions/arctangent) reconvertit une pente en angle.

## Courbe de y = tan x

```graph
title: 'Courbe de y = tan x avec ses asymptotes verticales x = ±π/2'
caption: 'Chaque branche monte de $-\infty$ à $\infty$ entre deux asymptotes consécutives. Le motif se répète tous les $\pi$.'
x: [-4.6, 4.6]
y: [-5, 5]
functions:
  - expr: tan(x)
    label: y = tan x
points:
  - [0, 0, '(0, 0)']
  - [0.7854, 1, '(π/4, 1)']
  - [-0.7854, -1, '(−π/4, −1)']
vertical:
  - {x: 1.5708, label: 'x = π/2'}
  - {x: -1.5708, label: 'x = −π/2'}
```

## Valeurs remarquables de la tangente

| $x$ | $-\frac{\pi}{3}$ | $-\frac{\pi}{4}$ | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $\tan x$ | $-\sqrt{3}$ | $-1$ | $0$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | non définie |

## Propriétés de la fonction tangente

- **Domaine de définition.** Tous les réels sauf $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$.
- **Ensemble image.** Tous les réels.
- **Période.** $\tan(x + \pi) = \tan x$, donc la période est $\pi$, et non $2\pi$.
- **Zéros.** $\tan x = 0$ en $x = k\pi$, les mêmes zéros que le sinus.
- **Imparité.** $\tan(-x) = -\tan x$.
- **Toujours croissante.** Sur chaque branche, la pente $\sec^2 x$ vaut au moins $1$, donc la courbe ne s'aplatit jamais.
- **Limites à gauche et à droite.** $\lim_{x \to \pi/2^-}\tan x = \infty$ et $\lim_{x \to \pi/2^+}\tan x = -\infty$. Voir les [limites à l'infini](/blog/limits-at-infinity) pour en savoir plus sur les asymptotes.
- **Identité.** $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$, obtenue en divisant $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ par $\cos^2 x$.

## Dérivée de tan x

On applique la [règle du quotient](/rules/quotient-rule) à $\frac{\sin x}{\cos x}$ :

$$\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$$

En $x = 0$, la pente vaut $\sec^2 0 = 1$, ce qui correspond à la courbe qui traverse l'origine avec un angle de 45 degrés.

## Primitive de tan x

On écrit $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ et on pose $u = \cos x$, donc $du = -\sin x\,dx$ :

$$\int \tan x\,dx = -\int \frac{du}{u} = -\ln|\cos x| + C = \ln|\sec x| + C$$

Les deux formes sont égales car $-\ln|\cos x| = \ln\frac{1}{|\cos x|}$.

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : règle de dérivation en chaîne.** $\frac{d}{dx}\tan(3x) = 3\sec^2(3x)$.

**Exemple 2 : une puissance de la tangente.** $\frac{d}{dx}\tan^2 x = 2\tan x\sec^2 x$.

**Exemple 3 : une primitive grâce à l'identité.** Comme $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$,

$$\int \tan^2 x\,dx = \int(\sec^2 x - 1)\,dx = \tan x - x + C$$

**Exemple 4 : une intégrale définie.** $\int_0^{\pi/4}\sec^2 x\,dx = \tan\frac{\pi}{4} - \tan 0 = 1$.

## Erreurs fréquentes

1. **Croire que la période est $2\pi$.** La tangente se répète tous les $\pi$, car $\sin$ et $\cos$ changent tous deux de signe après un demi-tour et les signes se compensent.
2. **Écrire $\int\tan x\,dx = \sec^2 x$.** C'est l'inverse : $\sec^2 x$ est la dérivée. La primitive fait intervenir un logarithme.
3. **Oublier la valeur absolue.** $\ln|\cos x|$ a besoin des barres car $\cos x$ est négatif sur certaines parties du domaine.
4. **Ignorer les asymptotes.** On ne peut pas intégrer $\tan x$ à travers $x = \frac{\pi}{2}$ avec le théorème fondamental de l'analyse ; ce serait une [intégrale impropre](/blog/improper-integrals), et elle diverge.

## Liens de la tangente avec d'autres notions

La tangente va de pair avec la sécante dans les dérivées et les primitives : ses cousines, la [sécante, la cosécante et la cotangente](/functions/reciprocal-trig-functions), méritent d'être étudiées en même temps. Sa réciproque, l'[arc tangente](/functions/arctangent), est une primitive de $\frac{1}{1+x^2}$, et le changement de variable $x = \tan\theta$ est un outil central du [changement de variable trigonométrique](/blog/trig-substitution). Pour retrouver les six dérivées trigonométriques au même endroit, lisez les [dérivées des fonctions trigonométriques](/blog/derivatives-of-trig-functions).

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée de tan x ?

La dérivée de $\tan x$ est $\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$. On l'obtient avec la règle du quotient appliquée à $\frac{\sin x}{\cos x}$.

### Quelle est la primitive de tan x ?

On a $\int \tan x\,dx = -\ln|\cos x| + C$, ce qui revient à $\ln|\sec x| + C$. On écrit $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ et on pose $u = \cos x$.

### Quelle est la période de tan x ?

La période de $\tan x$ est $\pi$, la moitié de celle du sinus et du cosinus. La fonction $\tan(bx)$ a pour période $\frac{\pi}{|b|}$.

### Où tan x a-t-elle des asymptotes verticales ?

En chaque $x$ tel que $\cos x = 0$, c'est-à-dire $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ pour tout entier $k$.