# Fonction valeur absolue |x| : courbe, dérivée et intégrale > La fonction valeur absolue |x| : sa courbe en V, pourquoi elle est continue mais non dérivable en 0, sa dérivée x/|x| et son intégrale. Source : https://practicecalculus.com/fr/fonctions/fonction-valeur-absolue Mis à jour : 2026-11-03 $$ f(x) = |x| = \begin{cases} x & x \ge 0 \\ -x & x < 0 \end{cases} $$ ## En bref - **Domaine de définition:** $(-\infty, \infty)$ - **Ensemble image:** $[0, \infty)$ - **Dérivée:** $\frac{x}{|x|}$ - **Intégrale:** $\frac{x|x|}{2} + C$ - **Non dérivable en:** $x = 0$ (point anguleux) - **Symétrie:** Paire : $|-x| = |x|$ ## À retenir - La valeur absolue $|x|$ est la distance de $x$ à $0$ : elle n'est donc jamais négative et sa courbe a la forme d'un V. - Elle est continue partout mais non dérivable en $x = 0$, où la courbe présente un point anguleux. - Pour $x \ne 0$, sa dérivée vaut $\frac{x}{|x|}$, c'est-à-dire $1$ pour $x > 0$ et $-1$ pour $x < 0$. - Pour intégrer $|x|$ sur un intervalle contenant $0$, on coupe l'intégrale en $0$. La **fonction valeur absolue** $f(x) = |x|$ donne la distance de $x$ à $0$ sur la droite des réels : elle supprime donc tout signe moins, $|3| = 3$ et $|-3| = 3$. Sa courbe en V est l'exemple classique d'une fonction continue partout mais qui possède un point où la dérivée n'existe pas. ## Formule $$|x| = \begin{cases} x & x \ge 0 \\ -x & x < 0 \end{cases}$$ C'est une [fonction définie par morceaux](/functions/piecewise-functions) construite à partir de deux [fonctions affines](/functions/linear-function). De manière équivalente, $|x| = \sqrt{x^2}$, ce qui la relie à la [fonction racine carrée](/functions/square-root-function). ## Courbe de |x| ```graph title: 'Courbe de la fonction valeur absolue y = |x|' caption: 'La courbe est un V dont le sommet est à l''origine. La pente vaut $-1$ à gauche et $1$ à droite, d''où un point anguleux en $x = 0$.' x: [-4, 4] y: [-1, 4] functions: - expr: abs(x) label: y = |x| points: - [0, 0, 'point anguleux (0, 0)'] ``` La forme générale $y = a|x - h| + k$ est un V de sommet $(h, k)$, tourné vers le haut si $a > 0$ et vers le bas si $a < 0$, dont les branches ont pour pentes $\pm a$. ## Propriétés principales - **Domaine de définition** : tous les réels ; **ensemble image** : $[0, \infty)$. - **Fonction paire :** $|-x| = |x|$, symétrique par rapport à l'axe des $y$. - **Continue partout**, y compris en $0$. - **Minimum absolu** égal à $0$ en $x = 0$, qui est un point critique car $f'(0)$ n'existe pas. - **Inégalité triangulaire :** $|a + b| \le |a| + |b|$. - **Les produits se séparent, pas les sommes :** $|ab| = |a||b|$, mais $|a + b|$ n'est en général pas égal à $|a| + |b|$. ## Dérivée de |x| Pour $x \ne 0$ : $$\frac{d}{dx}|x| = \frac{x}{|x|} = \begin{cases} 1 & x > 0 \\ -1 & x < 0 \end{cases}$$ En $x = 0$, les limites à droite et à gauche du taux d'accroissement sont $$\lim_{h \to 0^+}\frac{|h|}{h} = 1, \qquad \lim_{h \to 0^-}\frac{|h|}{h} = -1$$ Elles sont différentes, donc $f'(0)$ n'existe pas. C'est le cas d'école des [situations où la dérivée n'existe pas](/blog/limit-definition-of-the-derivative) : un point anguleux. Avec la [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule), $\frac{d}{dx}|g(x)| = \frac{g(x)}{|g(x)|}g'(x)$ partout où $g(x) \ne 0$. ## Intégrale de |x| $$\int |x|\,dx = \frac{x|x|}{2} + C$$ Vérifions morceau par morceau : pour $x > 0$, on obtient $\frac{x^2}{2}$, de dérivée $x = |x|$ ; pour $x < 0$, on obtient $-\frac{x^2}{2}$, de dérivée $-x = |x|$. Pour une intégrale définie, on coupe au point où l'expression à l'intérieur change de signe. ## Exemples corrigés **Exemple 1 : intégrale définie.** Calculons $\int_{-1}^{2}|x|\,dx$ en coupant en $0$ : $$\int_{-1}^{0}(-x)\,dx + \int_{0}^{2}x\,dx = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$$ Géométriquement, ce sont deux triangles d'aires $\frac{1}{2}$ et $2$. **Exemple 2 : une valeur absolue décalée.** $g(x) = |x - 3|$ a pour dérivée $1$ pour $x > 3$ et $-1$ pour $x < 3$, et n'est pas dérivable en $x = 3$. **Exemple 3 : dérivation en chaîne.** Pour $x \ne 2$, $\frac{d}{dx}|2x - 4| = \frac{2x - 4}{|2x - 4|} \cdot 2$, qui vaut $2$ pour $x > 2$ et $-2$ pour $x < 2$. **Exemple 4 : une limite.** $\lim_{x \to 0}\frac{|x|}{x}$ n'existe pas, car elle vaut $1$ à droite et $-1$ à gauche. ## Erreurs fréquentes 1. **Dire que $|x|$ n'est pas continue en $0$.** Elle est continue ; elle n'est simplement pas dérivable en ce point. 2. **Écrire $|{-x}| = -|x|$.** Une valeur absolue n'est jamais négative : $|-x| = |x|$. 3. **Intégrer à travers $0$ sans couper.** $\int_{-1}^{2}|x|\,dx$ n'est pas égale à $\frac{2^2}{2} - \frac{(-1)^2}{2}$. 4. **Oublier que c'est un point critique.** Quand on cherche des extremums, il faut inclure les points où la dérivée n'existe pas, comme le sommet d'un V. ## Liens avec le reste du programme Les valeurs absolues apparaissent dans $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$, dans la définition epsilon-delta d'une limite, et dans la convergence absolue des séries, avec les [critères de convergence](/blog/convergence-tests). Pour en savoir plus sur les points anguleux et les autres cas où la dérivée n'existe pas, consultez le guide sur la [continuité](/blog/continuity). ## Questions fréquentes ### Quelle est la dérivée de |x| ? Pour $x \ne 0$, $\frac{d}{dx}|x| = \frac{x}{|x|}$, qui vaut $1$ lorsque $x > 0$ et $-1$ lorsque $x < 0$. En $x = 0$, la dérivée n'existe pas. ### Pourquoi |x| n'est-elle pas dérivable en 0 ? La pente à droite vaut $1$ et la pente à gauche vaut $-1$. Comme les limites à gauche et à droite du taux d'accroissement sont différentes, la dérivée en $0$ n'existe pas, et la courbe présente un point anguleux. ### La fonction valeur absolue est-elle continue ? Oui. $|x|$ est continue en tout réel, y compris en $0$, où les limites à gauche et à droite valent $0 = |0|$. Elle montre que la continuité n'entraîne pas la dérivabilité. ### Quelle est l'intégrale de |x| ? Une primitive est $\frac{x|x|}{2}$, donc $\int |x|\,dx = \frac{x|x|}{2} + C$. Pour une intégrale définie, il est souvent plus simple de couper en $0$, par exemple $\int_{-1}^{2}|x|\,dx = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$.