# Fonctions définies par morceaux : courbes, limites, continuité

> Les fonctions définies par morceaux : les lire et les tracer, calculer les limites à gauche et à droite, étudier continuité et dérivabilité, et les intégrer.

Source : https://practicecalculus.com/fr/fonctions/fonctions-definies-par-morceaux
Mis à jour : 2026-11-03

$$ f(x) = \begin{cases} f_1(x) & x < a \\ f_2(x) & x \ge a \end{cases} $$

## En bref

- **Domaine de définition:** La réunion des intervalles couverts par les morceaux
- **Continuité en x = a:** Lorsque $\lim_{x\to a^-}f_1(x) = \lim_{x\to a^+}f_2(x) = f(a)$
- **Dérivée:** $f'(x) = \begin{cases} f_1'(x) & x < a \\ f_2'(x) & x > a \end{cases}$
- **Intégrale:** $\int_b^c f(x)\,dx = \int_b^a f_1(x)\,dx + \int_a^c f_2(x)\,dx$
- **Exemples:** Valeur absolue, partie entière, tranches d'imposition, tarifs postaux

## À retenir

- Une fonction définie par morceaux utilise des formules différentes sur différents intervalles de son domaine de définition.
- En un point de raccordement, on compare la limite à gauche, la limite à droite et la valeur de la fonction pour étudier la continuité.
- On dérive chaque morceau sur son intervalle ouvert, puis on étudie séparément les points de raccordement avec les dérivées à gauche et à droite.
- Pour intégrer sur un intervalle contenant un point de raccordement, on coupe l'intégrale en ce point.

Une **fonction définie par morceaux** est une fonction donnée par des formules différentes sur différentes parties de son domaine de définition. La règle indique quelle formule utiliser selon la position de $x$. Ces fonctions sont les cas tests classiques pour les [limites](/blog/what-is-a-limit), la [continuité](/blog/continuity) et la dérivabilité, car tout l'intérêt se joue là où les morceaux se raccordent.

## Comment lire une fonction définie par morceaux

$$f(x) = \begin{cases} x^2 & x < 1 \\ 3 - x & x \ge 1 \end{cases}$$

Pour calculer une image, on cherche d'abord quelle condition $x$ vérifie, puis on utilise uniquement ce morceau. Ici $f(0) = 0^2 = 0$, $f(1) = 3 - 1 = 2$ (car $x \ge 1$ inclut $1$), et $f(2) = 3 - 2 = 1$.

## Courbe d'une fonction définie par morceaux

```graph
title: 'Courbe d''une fonction par morceaux avec un saut en x = 1'
caption: 'Le morceau de gauche $x^2$ s''approche du point vide $(1, 1)$. Le morceau de droite $3 - x$ part du point plein $(1, 2)$, qui correspond à la vraie valeur $f(1)$.'
x: [-2, 4]
y: [-1.5, 4.5]
functions:
  - expr: x^2
    label: y = x², x < 1
    domain: [-2, 1]
  - expr: 3 - x
    label: y = 3 − x, x ≥ 1
    domain: [1, 4]
points:
  - [1, 1, '(1, 1)', open]
  - [1, 2, '(1, 2)']
```

Chaque morceau n'est tracé que sur son propre intervalle. Un **point vide** marque une extrémité exclue ; un **point plein** marque une extrémité incluse.

## Limites d'une fonction définie par morceaux

En un point de raccordement $a$, on calcule séparément les deux [limites à gauche et à droite](/blog/how-to-evaluate-limits), chacune avec son propre morceau. Pour la fonction ci-dessus en $a = 1$ :

$$\lim_{x\to 1^-}f(x) = \lim_{x\to 1^-}x^2 = 1, \qquad \lim_{x\to 1^+}f(x) = \lim_{x\to 1^+}(3 - x) = 2$$

Les limites à gauche et à droite sont différentes, donc $\lim_{x\to 1}f(x)$ n'existe pas, et la courbe présente un saut. Loin du point de raccordement, une limite se calcule simplement par [substitution directe](/rules/direct-substitution) dans le morceau actif.

## Continuité en un point de raccordement

$f$ est continue en $a$ lorsque ces trois quantités sont égales :

1. la limite à gauche $\lim_{x\to a^-}f(x)$,
2. la limite à droite $\lim_{x\to a^+}f(x)$,
3. la valeur $f(a)$.

**Exemple : choisir une constante.** Pour quelle valeur de $k$ la fonction

$$g(x) = \begin{cases} kx + 1 & x < 2 \\ x^2 & x \ge 2 \end{cases}$$

est-elle continue ? La limite à gauche en $2$ vaut $2k + 1$, et la limite à droite ainsi que la valeur valent $2^2 = 4$. L'équation $2k + 1 = 4$ donne $k = \frac{3}{2}$.

## Dérivée d'une fonction définie par morceaux

À l'intérieur de chaque intervalle ouvert, on dérive le morceau actif comme d'habitude. En un point de raccordement, il faut deux vérifications :

- $f$ doit y être continue (un saut empêche toute dérivabilité).
- Les dérivées à gauche et à droite doivent être égales : $\lim_{h\to 0^-}\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{h\to 0^+}\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$.

Lorsque les deux morceaux sont des polynômes et que $f$ est continue en $a$, la seconde vérification revient à comparer $f_1'(a)$ et $f_2'(a)$.

**Exemple : un point anguleux.** La [fonction valeur absolue](/functions/absolute-value-function) $|x|$ vaut $-x$ pour $x < 0$ et $x$ pour $x \ge 0$. Elle est continue en $0$, mais la pente à gauche vaut $-1$ et la pente à droite vaut $1$, donc $|x|$ n'est pas dérivable en $0$.

**Exemple : continue mais pas lisse.** Pour la fonction $g$ ci-dessus avec $k = \frac{3}{2}$, la pente à gauche en $2$ vaut $\frac{3}{2}$ et la pente à droite vaut $2x = 4$. Elles diffèrent, donc $g$ est continue mais pas dérivable en $x = 2$.

## Intégrer une fonction définie par morceaux

On coupe l'intégrale en chaque point de raccordement situé dans l'intervalle. Pour la première fonction sur $[0, 3]$ :

$$\int_0^3 f(x)\,dx = \int_0^1 x^2\,dx + \int_1^3 (3 - x)\,dx = \frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3}$$

La seconde intégrale vaut $\left[3x - \frac{x^2}{2}\right]_1^3 = \frac{9}{2} - \frac{5}{2} = 2$. Un saut isolé ne change pas la valeur de l'intégrale, donc peu importe à quel morceau appartient le point $x = 1$.

## Erreurs fréquentes

1. **Utiliser le mauvais morceau à la frontière.** Vérifiez si la condition indique $<$ ou $\le$ avant de calculer $f(a)$.
2. **Conclure à la continuité à partir d'un seul côté.** Les deux limites à gauche et à droite et la valeur doivent être égales.
3. **Croire que continue implique dérivable.** Les points anguleux comme celui de $|x|$ en $0$ sont continus mais sans dérivée.
4. **Dériver les morceaux et les comparer en un saut.** Si $f$ n'est pas continue en $a$, elle n'y est pas dérivable, même si les pentes des morceaux coïncident.
5. **Intégrer une seule formule sur tout l'intervalle.** Coupez toujours aux points de raccordement.

## Fonctions associées

Les [fonctions partie entière](/functions/floor-and-ceiling-functions) sont des fonctions en escalier, constantes par morceaux, avec un saut en chaque entier, et la [valeur absolue](/functions/absolute-value-function) est la fonction par morceaux la plus simple présentant un point anguleux. Pour une étude complète des limites et de la continuité, consultez le guide sur la [continuité](/blog/continuity).

## Questions fréquentes

### Comment calculer la limite d'une fonction définie par morceaux ?

Loin d'un point de raccordement, on utilise la formule du morceau concerné. En un point de raccordement, on calcule la limite à gauche avec le morceau de gauche et la limite à droite avec le morceau de droite. La limite existe seulement si elles sont égales.

### Comment rendre continue une fonction définie par morceaux ?

En chaque point de raccordement $a$, on écrit que les deux morceaux sont égaux en $x = a$ et on résout pour trouver la constante inconnue. Cela oblige les limites à gauche et à droite à valoir $f(a)$.

### Une fonction par morceaux continue est-elle toujours dérivable ?

Non. Les morceaux peuvent se raccorder avec des pentes différentes, ce qui crée un point anguleux. La fonction valeur absolue $|x|$ est continue en $0$ mais n'y est pas dérivable.

### Comment tracer une fonction définie par morceaux ?

On trace chaque formule uniquement sur son propre intervalle. À chaque extrémité, on dessine un point plein si l'extrémité est incluse et un point vide si elle ne l'est pas.