# Fonctions exponentielles bˣ : courbes, dérivée et primitive > Les fonctions exponentielles f(x) = b^x : courbes de croissance et de décroissance, propriétés, dérivée b^x ln b, primitive b^x / ln b + C et exemples. Source : https://practicecalculus.com/fr/fonctions/fonctions-exponentielles Mis à jour : 2026-11-03 $$ f(x) = b^x, \quad b > 0,\ b \ne 1 $$ ## En bref - **Domaine de définition:** $(-\infty, \infty)$ - **Ensemble image:** $(0, \infty)$ - **Dérivée:** $b^x \ln b$ - **Primitive:** $\frac{b^x}{\ln b} + C$ - **Croissance ou décroissance:** Croissante si $b > 1$, décroissante si $0 < b < 1$ - **Réciproque:** $\log_b x$ ## À retenir - Une fonction exponentielle $b^x$ a une base positive fixe $b \ne 1$ et la variable en exposant. - Sa dérivée est $b^x\ln b$ : la même fonction, multipliée par le logarithme népérien de la base. - Une primitive est $\frac{b^x}{\ln b} + C$. - Toute exponentielle peut s'écrire $b^x = e^{x\ln b}$, et c'est ainsi qu'on établit les deux règles. Une **fonction exponentielle** est formée d'une base constante élevée à une puissance variable, $f(x) = b^x$. Chaque fois que $x$ augmente de $1$, le résultat est multiplié par le même facteur $b$ : c'est pourquoi les exponentielles modélisent les intérêts composés, la croissance d'une population, les demi-vies et tout ce qui évolue d'un pourcentage fixe. ## Formule $$f(x) = b^x, \qquad b > 0,\ b \ne 1$$ Plus généralement, $f(x) = A\,b^x$, où $A = f(0)$ est la valeur initiale. Les conditions sur $b$ comptent : $b = 1$ donne la constante $1$, et une base négative comme $(-2)^x$ n'est pas réelle pour la plupart des $x$ fractionnaires. La base la plus importante est $e$ ; voir la [fonction exponentielle](/functions/natural-exponential-function). ## Courbes des fonctions exponentielles ```graph title: 'Courbes des fonctions exponentielles y = 2ˣ et y = (1/2)ˣ' caption: 'Les deux passent par $(0, 1)$ et admettent l''asymptote horizontale $y = 0$. La base $2$ donne une croissance ; la base $\tfrac{1}{2}$ donne une décroissance et en est le symétrique par rapport à l''axe des $y$.' x: [-4, 4] y: [-1, 9] functions: - expr: 2^x label: y = 2ˣ - expr: (0.5)^x label: y = (1/2)ˣ points: - [0, 1, '(0, 1)'] ``` ## Propriétés principales - **Domaine de définition** : tous les réels ; **ensemble image** : $(0, \infty)$. La courbe passe toujours par $(0, 1)$. - **Croissance ($b > 1$) :** fonction croissante, $b^x \to \infty$ quand $x \to \infty$ et $b^x \to 0$ quand $x \to -\infty$. - **Décroissance ($0 < b < 1$) :** fonction décroissante, avec les limites inverses. - **Asymptote horizontale** $y = 0$ dans les deux cas. Aucun point d'intersection avec l'axe des $x$. - **Convexe** pour toute base admissible. - **Réciproque :** la [fonction logarithme](/functions/logarithmic-functions) $\log_b x$. - **Changement de base :** $b^x = e^{x\ln b}$. - **Règles de calcul sur les exposants :** $b^{m}b^{n} = b^{m+n}$, $\frac{b^m}{b^n} = b^{m-n}$, $(b^m)^n = b^{mn}$, $b^{-n} = \frac{1}{b^n}$. ## Dérivée de bˣ On réécrit avec la base $e$ et on utilise la [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule) : $$\frac{d}{dx}b^x = \frac{d}{dx}e^{x\ln b} = e^{x\ln b}\ln b = b^x\ln b$$ La dérivée est proportionnelle à la fonction elle-même. Pour $b > 1$, $\ln b > 0$ (croissance) ; pour $0 < b < 1$, $\ln b < 0$ (décroissance). Avec une fonction intérieure, $\frac{d}{dx}b^{g(x)} = b^{g(x)}\ln b \cdot g'(x)$. ## Primitive de bˣ $$\int b^x\,dx = \frac{b^x}{\ln b} + C$$ Pour vérifier, on dérive le membre de droite : $\frac{b^x\ln b}{\ln b} = b^x$. ## Exemples corrigés **Exemple 1.** $\frac{d}{dx}5^x = 5^x\ln 5$. **Exemple 2 : dérivation en chaîne.** $\frac{d}{dx}3^{x^2} = 3^{x^2}\ln 3 \cdot 2x$. **Exemple 3 : intégrale définie.** $\int_0^2 2^x\,dx = \left[\frac{2^x}{\ln 2}\right]_0^2 = \frac{4 - 1}{\ln 2} = \frac{3}{\ln 2} \approx 4.33$. **Exemple 4 : demi-vie.** Un échantillon de demi-vie $5$ ans vérifie $A(t) = A_0\left(\frac{1}{2}\right)^{t/5}$. La vitesse de désintégration est $$A'(t) = A_0\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/5}\ln\tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{1}{5} = -\frac{\ln 2}{5}A(t)$$ donc, à chaque instant, l'échantillon perd environ $13.9\%$ de sa quantité actuelle par an. **Exemple 5 : intérêts composés.** Avec un taux annuel de $5\%$, $P(t) = P_0(1.05)^t$. Avec une capitalisation continue, on obtient $P_0e^{0.05t}$. ## Erreurs fréquentes 1. **Utiliser la règle de la puissance.** $\frac{d}{dx}2^x \ne x\,2^{x-1}$. 2. **Oublier le facteur $\ln b$**, ou écrire $\log_{10} b$ au lieu de $\ln b$. 3. **Multiplier au lieu de diviser en intégrant.** $\int 2^x\,dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C$, et non $2^x\ln 2 + C$. 4. **Écrire $2 \cdot 3^x = 6^x$.** Le coefficient ne se combine pas avec la base. ## Liens avec le reste du programme Les exponentielles l'emportent sur tous les polynômes, un fait au cœur de nombreux problèmes de [limites en l'infini](/blog/limits-at-infinity) et de [règle de L'Hôpital](/blog/lhopitals-rule). Les suites géométriques sont des exponentielles évaluées aux entiers, ce qui mène aux [séries géométriques](/blog/geometric-series). Pour vous entraîner davantage, lisez le guide sur les [dérivées des fonctions exponentielles et logarithmes](/blog/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions). ## Questions fréquentes ### Quelle est la dérivée de a^x ? La dérivée de $a^x$ est $a^x\ln a$. Par exemple, $\frac{d}{dx}2^x = 2^x\ln 2$. Lorsque $a = e$, $\ln e = 1$ et la formule se réduit à $\frac{d}{dx}e^x = e^x$. ### Quelle est une primitive de a^x ? $\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ pour $a > 0$, $a \ne 1$. Par exemple, $\int 3^x\,dx = \frac{3^x}{\ln 3} + C$. ### Quelle est la différence entre croissance et décroissance exponentielles ? Si la base vérifie $b > 1$, la fonction augmente quand $x$ augmente (croissance exponentielle). Si $0 < b < 1$, elle diminue vers $0$ (décroissance exponentielle). Sous la forme $Ae^{kt}$, la croissance correspond à $k > 0$ et la décroissance à $k < 0$. ### Pourquoi ne peut-on pas utiliser la règle de la puissance pour 2^x ? La règle de la puissance concerne une base variable avec un exposant constant, comme $x^2$. Dans $2^x$, la base est constante et c'est l'exposant qui varie : il faut donc la règle de l'exponentielle $\frac{d}{dx}2^x = 2^x\ln 2$.