# Fonctions hyperboliques sh, ch, th : courbes, dérivées et primitives

> Les fonctions hyperboliques sh x, ch x et th x : définitions à partir de l'exponentielle, courbes, identités, dérivées, primitives et exemples corrigés.

Source : https://practicecalculus.com/fr/fonctions/fonctions-hyperboliques
Mis à jour : 2026-11-03

$$ \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \quad \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \quad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} $$

## En bref

- **Domaine de définition de sh x:** $(-\infty, \infty)$
- **Ensemble image de sh x:** $(-\infty, \infty)$
- **Dérivée:** $\cosh x$
- **Primitive:** $\cosh x + C$
- **Identité fondamentale:** $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$
- **Ensembles images de ch x et th x:** $[1, \infty)$ et $(-1, 1)$

## À retenir

- $\sinh x$ et $\cosh x$ sont construites à partir de $e^x$ et $e^{-x}$ : ce sont ses parties impaire et paire.
- Dérivées : $(\sinh x)' = \cosh x$, $(\cosh x)' = \sinh x$ et $(\tanh x)' = \operatorname{sech}^2 x$, sans aucun signe moins.
- L'identité principale est $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$, avec un moins là où la trigonométrie a un plus.
- Les fonctions hyperboliques ne sont pas périodiques : elles croissent exponentiellement (sh, ch) ou se stabilisent (th).

Les **fonctions hyperboliques** $\sinh x$, $\cosh x$ et $\tanh x$ (notées sh, ch et th en France) sont des combinaisons de $e^x$ et $e^{-x}$ qui se comportent de façon remarquablement semblable aux fonctions trigonométriques. Elles partagent presque les mêmes identités et règles de dérivation, à quelques changements de signe près, et elles décrivent des formes réelles comme celle d'un câble suspendu.

## Définitions

$$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \qquad \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \qquad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$$

En additionnant les deux premières, on obtient $\cosh x + \sinh x = e^x$ : elles décomposent donc la [fonction exponentielle](/functions/natural-exponential-function) en une partie paire ($\cosh$) et une partie impaire ($\sinh$). Leurs inverses se définissent comme pour leurs cousines trigonométriques : $\operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x}$, $\operatorname{csch} x = \frac{1}{\sinh x}$ et $\coth x = \frac{1}{\tanh x}$.

## Courbes de sh, ch et th

```graph
title: 'Courbes de y = sh x, y = ch x et y = th x'
caption: '$\cosh x$ est une courbe en U de minimum $1$ en $x = 0$. $\sinh x$ passe par l''origine et croît sans limite. $\tanh x$ reste comprise entre $-1$ et $1$.'
x: [-3, 3]
y: [-4, 4]
functions:
  - expr: sinh(x)
    label: y = sh x
  - expr: cosh(x)
    label: y = ch x
  - expr: tanh(x)
    label: y = th x
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
  - [0, 0, '(0, 0)']
```

| Fonction | Domaine de définition | Ensemble image | Parité | Valeur en $0$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $\sinh x$ | tous les réels | tous les réels | impaire | $0$ |
| $\cosh x$ | tous les réels | $[1, \infty)$ | paire | $1$ |
| $\tanh x$ | tous les réels | $(-1, 1)$ | impaire | $0$ |

$\tanh x$ admet les asymptotes horizontales $y = 1$ et $y = -1$, puisque $\tanh x \to 1$ quand $x \to \infty$ et $\tanh x \to -1$ quand $x \to -\infty$.

## Identités hyperboliques

L'identité centrale découle directement des définitions :

$$\cosh^2 x - \sinh^2 x = \frac{(e^x + e^{-x})^2 - (e^x - e^{-x})^2}{4} = \frac{4}{4} = 1$$

Comparez-la avec $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$. Autres identités utiles :

- $1 - \tanh^2 x = \operatorname{sech}^2 x$
- $\sinh(2x) = 2\sinh x\cosh x$
- $\cosh(2x) = \cosh^2 x + \sinh^2 x$

## Dérivées des fonctions hyperboliques

| Fonction | Dérivée |
| --- | --- |
| $\sinh x$ | $\cosh x$ |
| $\cosh x$ | $\sinh x$ |
| $\tanh x$ | $\operatorname{sech}^2 x$ |

Chacune découle de $\frac{d}{dx}e^{-x} = -e^{-x}$. Par exemple,

$$\frac{d}{dx}\sinh x = \frac{e^x - (-e^{-x})}{2} = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh x$$

Pour $\tanh x$, la [règle du quotient](/rules/quotient-rule) donne $\frac{\cosh^2 x - \sinh^2 x}{\cosh^2 x} = \frac{1}{\cosh^2 x} = \operatorname{sech}^2 x$.

## Primitives des fonctions hyperboliques

| Fonction | Primitive |
| --- | --- |
| $\sinh x$ | $\cosh x + C$ |
| $\cosh x$ | $\sinh x + C$ |
| $\tanh x$ | $\ln(\cosh x) + C$ |
| $\operatorname{sech}^2 x$ | $\tanh x + C$ |

La primitive de $\tanh$ s'obtient avec $u = \cosh x$ : $\int\frac{\sinh x}{\cosh x}\,dx = \ln|\cosh x| + C$, et on peut supprimer la valeur absolue car $\cosh x \ge 1$.

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : dérivation en chaîne.** $\frac{d}{dx}\cosh(x^2) = 2x\sinh(x^2)$.

**Exemple 2 : calcul d'une valeur.** Calculons $\cosh(\ln 2)$. Comme $e^{\ln 2} = 2$ et $e^{-\ln 2} = \frac{1}{2}$,

$$\cosh(\ln 2) = \frac{2 + \frac{1}{2}}{2} = \frac{5}{4}$$

**Exemple 3 : une intégrale définie.** $\int_0^{1}\cosh x\,dx = \sinh 1 - \sinh 0 = \frac{e - e^{-1}}{2} \approx 1.175$.

**Exemple 4 : changement de variable.** $\int\sinh(3x)\,dx = \frac{1}{3}\cosh(3x) + C$.

## Erreurs fréquentes

1. **Recopier le signe moins de la trigonométrie.** $\frac{d}{dx}\cosh x = \sinh x$, et non $-\sinh x$.
2. **Utiliser l'identité trigonométrique.** C'est $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$, avec un signe moins.
3. **S'attendre à une périodicité.** Les fonctions hyperboliques ne se répètent jamais. $\sinh$ et $\cosh$ croissent comme $\frac{e^x}{2}$ pour $x$ grand.
4. **Confondre $\sinh x$ et $\sin x$.** Ce sont des fonctions différentes ; $\sinh 0 = 0$ comme $\sin 0$, mais $\sinh x$ n'est pas bornée.

## Où rencontre-t-on les fonctions hyperboliques ?

Un câble suspendu prend la forme d'une chaînette, $y = a\cosh\frac{x}{a}$, et sa longueur se calcule facilement car $1 + \sinh^2 x = \cosh^2 x$. Le changement de variable $x = \sinh t$ est une alternative au [changement de variable trigonométrique](/blog/trig-substitution) pour les intégrales contenant $\sqrt{1 + x^2}$. Les fonctions hyperboliques ont aussi des [séries de Taylor](/blog/taylor-series) très simples : $\sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots$, la série du sinus avec tous les signes positifs. Pour revoir les dérivées des exponentielles sur lesquelles tout cela repose, consultez [dérivées des fonctions exponentielles et logarithmes](/blog/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions).

## Questions fréquentes

### Quelles sont les dérivées de sh x et ch x ?

La dérivée de $\sinh x$ est $\cosh x$ et la dérivée de $\cosh x$ est $\sinh x$. Contrairement à $\cos x$, il n'y a pas de signe moins.

### Quelle est la dérivée de th x ?

La dérivée de $\tanh x$ est $\operatorname{sech}^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x}$, qui est aussi égale à $1 - \tanh^2 x$.

### Pourquoi les appelle-t-on fonctions hyperboliques ?

Le point $(\cosh t, \sinh t)$ se trouve toujours sur l'hyperbole $x^2 - y^2 = 1$, de même que $(\cos t, \sin t)$ se trouve sur le cercle $x^2 + y^2 = 1$.

### Qu'est-ce qu'une chaînette ?

Une chaînette est la courbe que forme une chaîne ou un câble suspendu sous son propre poids. Son équation est $y = a\cosh\frac{x}{a}$.

### Comment lit-on sinh et cosh ?

En France, on note plutôt sh, ch et th, et on lit « sinus hyperbolique » pour $\sinh$, « cosinus hyperbolique » pour $\cosh$ et « tangente hyperbolique » pour $\tanh$. Ces noms complets sont toujours clairs.