# Fonctions logarithmes log_b(x) : courbes, règles, dérivée et primitive

> Les fonctions logarithmes log_b x : définition, courbes, règles de calcul, changement de base, dérivée 1/(x ln b), primitive et exemples corrigés.

Source : https://practicecalculus.com/fr/fonctions/fonctions-logarithmes
Mis à jour : 2026-11-03

$$ f(x) = \log_b x, \quad b > 0,\ b \ne 1 $$

## En bref

- **Domaine de définition:** $(0, \infty)$
- **Ensemble image:** $(-\infty, \infty)$
- **Dérivée:** $\frac{1}{x\ln b}$
- **Primitive:** $\frac{x\ln x - x}{\ln b} + C$
- **Changement de base:** $\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$
- **Réciproque:** $b^x$

## À retenir

- Le logarithme $\log_b x$ est l'exposant qu'il faut mettre sur $b$ pour obtenir $x$ : c'est donc la réciproque de $b^x$.
- Le changement de base, $\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$, transforme tout logarithme en un multiple de $\ln x$.
- Sa dérivée est $\frac{1}{x\ln b}$, qui se réduit à $\frac{1}{x}$ lorsque $b = e$.
- Toute fonction logarithme passe par $(1, 0)$ et admet une asymptote verticale en $x = 0$.

Une **fonction logarithme** $\log_b x$ renvoie l'exposant qu'il faut mettre sur la base $b$ pour obtenir $x$. Par exemple, $\log_2 8 = 3$ car $2^3 = 8$. Les logarithmes défont les [fonctions exponentielles](/functions/exponential-functions), et en analyse, tout logarithme est un multiple constant du [logarithme népérien](/functions/natural-logarithm).

## Définition et formule

$$\log_b x = y \iff b^y = x, \qquad b > 0,\ b \ne 1,\ x > 0$$

Bases courantes : $\log_{10}x$ (le logarithme décimal, souvent noté $\log x$), $\ln x = \log_e x$, et $\log_2 x$ en informatique.

## Courbes des fonctions logarithmes

```graph
title: 'Courbes de y = log en base 2 de x, y = ln(x) et y = log en base 10 de x'
caption: 'Tous les logarithmes de base supérieure à $1$ passent par $(1, 0)$ et croissent lentement. Plus la base est grande, plus la courbe est aplatie.'
x: [-0.5, 10]
y: [-3, 4]
functions:
  - expr: ln(x)/ln(2)
    label: y = log en base 2
  - expr: ln(x)
    label: y = ln x
  - expr: log(x)
    label: y = log en base 10
points:
  - [1, 0, '(1, 0)']
vertical:
  - {x: 0, label: 'x = 0'}
```

## Propriétés principales

- **Domaine de définition** $(0, \infty)$, **ensemble image** : tous les réels.
- **Passe par** $(1, 0)$ et $(b, 1)$ quelle que soit la base.
- **Asymptote verticale** $x = 0$.
- **Croissante** si $b > 1$, **décroissante** si $0 < b < 1$.
- **Réciproque de $b^x$ :** $b^{\log_b x} = x$ pour $x > 0$ et $\log_b(b^x) = x$ pour tout $x$. La courbe est celle de $b^x$ réfléchie par rapport à la droite $y = x$.
- **Croissance lente :** pour $b > 1$, $\log_b x \to \infty$, mais plus lentement que toute puissance positive de $x$.

## Règles de calcul sur les logarithmes

Pour $x, y > 0$ :

| Règle | Formule |
| --- | --- |
| Produit | $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$ |
| Quotient | $\log_b\frac{x}{y} = \log_b x - \log_b y$ |
| Puissance | $\log_b(x^k) = k\log_b x$ |
| Changement de base | $\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$ |
| Valeurs particulières | $\log_b 1 = 0$, $\log_b b = 1$ |

## Dérivée de log_b x

Grâce au changement de base, c'est un multiple constant de $\ln x$ :

$$\frac{d}{dx}\log_b x = \frac{1}{\ln b}\cdot\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x\ln b}$$

Avec la [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule), $\frac{d}{dx}\log_b g(x) = \frac{g'(x)}{g(x)\ln b}$. Lorsque $b = e$, $\ln e = 1$ et on retrouve $\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$.

## Primitive de log_b x

$$\int \log_b x\,dx = \frac{1}{\ln b}\int \ln x\,dx = \frac{x\ln x - x}{\ln b} + C$$

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : calcul de valeurs.** $\log_3 81 = 4$ car $3^4 = 81$, et $\log_2\frac{1}{8} = -3$ car $2^{-3} = \frac{1}{8}$.

**Exemple 2 : dérivée.** $\frac{d}{dx}\log_{10}x = \frac{1}{x\ln 10}$. En $x = 10$, la pente vaut $\frac{1}{10\ln 10} \approx 0.0434$.

**Exemple 3 : dérivation en chaîne.** $\frac{d}{dx}\log_2(x^2 + 1) = \frac{2x}{(x^2 + 1)\ln 2}$.

**Exemple 4 : appliquer d'abord les règles de calcul.** $\frac{d}{dx}\log_5\left(x^3\sqrt{x}\right) = \frac{d}{dx}\tfrac{7}{2}\log_5 x = \frac{7}{2x\ln 5}$.

**Exemple 5 : résoudre une équation exponentielle.** Pour résoudre $2^x = 10$, on applique $\log_2$ aux deux membres : $x = \log_2 10 = \frac{\ln 10}{\ln 2} \approx 3.32$.

## Erreurs fréquentes

1. **Oublier le $\ln b$ dans la dérivée.** $\frac{d}{dx}\log_{10}x \ne \frac{1}{x}$.
2. **Séparer le logarithme d'une somme.** $\log_b(x + y) \ne \log_b x + \log_b y$.
3. **Écrire $\frac{\log_b x}{\log_b y} = \log_b(x - y)$.** La règle du quotient porte sur le logarithme d'un quotient, pas sur un quotient de logarithmes.
4. **Inverser le changement de base.** C'est $\frac{\ln x}{\ln b}$, et non $\frac{\ln b}{\ln x}$.

## Liens avec le reste du programme

Les logarithmes transforment les équations exponentielles en équations du premier degré et les produits en sommes : c'est l'idée de la [dérivation logarithmique](/rules/logarithmic-differentiation). Ils apparaissent aussi dans la primitive de $\frac{1}{x}$ et dans de nombreuses [intégrales impropres](/blog/improper-integrals). Pour voir les règles de dérivation en parallèle avec celles des exponentielles, lisez le guide sur les [dérivées des fonctions exponentielles et logarithmes](/blog/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions).

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée du logarithme de base b de x ?

La dérivée est $\frac{d}{dx}\log_b x = \frac{1}{x\ln b}$. Par exemple, $\frac{d}{dx}\log_{10}x = \frac{1}{x\ln 10}$.

### Quelle est une primitive du logarithme de base b de x ?

On écrit $\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$ et on utilise $\int \ln x\,dx = x\ln x - x$. On obtient $\int \log_b x\,dx = \frac{x\ln x - x}{\ln b} + C$.

### Quelle est la formule de changement de base ?

Pour toutes bases admissibles, $\log_b x = \frac{\log_a x}{\log_a b}$. En analyse, le choix naturel est $a = e$, ce qui donne $\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$.

### Pourquoi le logarithme d'un nombre négatif n'est-il pas défini ?

Une base positive élevée à une puissance réelle quelconque donne toujours un nombre positif : aucun exposant ne donne un nombre négatif ou nul. C'est pourquoi $\log_b x$ n'est défini que pour $x > 0$.