# Partie entière ⌊x⌋ et ⌈x⌉ : courbes, limites, dérivée, intégrale

> La partie entière ⌊x⌋ et la partie entière supérieure ⌈x⌉ : définitions, courbes en escalier, limites à gauche et à droite, continuité, dérivée et intégrale.

Source : https://practicecalculus.com/fr/fonctions/fonctions-partie-entiere
Mis à jour : 2026-11-03

$$ \lfloor x \rfloor = \max\{n \in \mathbb{Z} : n \le x\}, \quad \lceil x \rceil = \min\{n \in \mathbb{Z} : n \ge x\} $$

## En bref

- **Domaine de définition:** $(-\infty, \infty)$
- **Ensemble image:** Les entiers relatifs $\mathbb{Z}$
- **Dérivée:** $\frac{d}{dx}\lfloor x \rfloor = 0 \ \ (x \notin \mathbb{Z})$
- **Intégrale:** $\int_0^x \lfloor t \rfloor\,dt = \lfloor x \rfloor x - \frac{\lfloor x \rfloor(\lfloor x \rfloor + 1)}{2}$
- **Discontinuités:** Un saut de hauteur $1$ en chaque entier
- **Relation:** $\lceil x \rceil = -\lfloor -x \rfloor$

## À retenir

- $\lfloor x \rfloor$ arrondit à l'entier inférieur le plus proche et $\lceil x \rceil$ arrondit à l'entier supérieur.
- Ce sont deux fonctions en escalier : constantes entre deux entiers, avec un saut de $1$ en chaque entier.
- En un entier $n$, $\lim_{x\to n^-}\lfloor x\rfloor = n - 1$ et $\lim_{x\to n^+}\lfloor x\rfloor = n$, donc la limite n'existe pas.
- La dérivée vaut $0$ en dehors des entiers et n'est pas définie en ces points ; les intégrales sont des sommes d'aires de rectangles.

La **partie entière** $\lfloor x\rfloor$ arrondit un nombre à l'entier inférieur le plus proche, et la **partie entière supérieure** $\lceil x\rceil$ l'arrondit à l'entier supérieur. Leurs courbes ressemblent à des escaliers, ce qui en fait les exemples classiques de [fonctions définies par morceaux](/functions/piecewise-functions) présentant des discontinuités de saut. La partie entière est aussi appelée partie entière inférieure et s'écrit parfois $[x]$ ou $\operatorname{int}(x)$ (en France, on rencontre aussi la notation E(x)).

## Définitions

$$\lfloor x\rfloor = \text{le plus grand entier } n \text{ tel que } n \le x, \qquad \lceil x\rceil = \text{le plus petit entier } n \text{ tel que } n \ge x$$

| $x$ | $2.7$ | $2$ | $0.4$ | $-0.4$ | $-2.7$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $\lfloor x\rfloor$ | $2$ | $2$ | $0$ | $-1$ | $-3$ |
| $\lceil x\rceil$ | $3$ | $2$ | $1$ | $0$ | $-2$ |

Attention aux nombres négatifs : arrondir $-2.7$ **vers le bas** donne $-3$, et non $-2$.

## Courbe de la partie entière

```graph
title: 'Courbe de la partie entière y = ⌊x⌋ de x = −1 à x = 3'
caption: 'Chaque marche contient son extrémité gauche (point plein) et exclut son extrémité droite (point vide), car $\lfloor n\rfloor = n$ en tout entier $n$.'
x: [-1.5, 3.5]
y: [-1.8, 2.8]
functions:
  - expr: '-1'
    domain: [-1, 0]
  - expr: '0'
    domain: [0, 1]
  - expr: '1'
    domain: [1, 2]
  - expr: '2'
    domain: [2, 3]
points:
  - [-1, -1, '', closed]
  - [0, -1, '', open]
  - [0, 0, '', closed]
  - [1, 0, '', open]
  - [1, 1, '', closed]
  - [2, 1, '', open]
  - [2, 2, '(2, 2)', closed]
  - [3, 2, '', open]
```

## Courbe de la partie entière supérieure

```graph
title: 'Courbe de la partie entière supérieure y = ⌈x⌉ de x = −1 à x = 3'
caption: 'Les marches de la partie entière supérieure sont fermées à droite et ouvertes à gauche, à l''inverse de la partie entière.'
x: [-1.5, 3.5]
y: [-0.8, 3.8]
functions:
  - expr: '0'
    domain: [-1, 0]
  - expr: '1'
    domain: [0, 1]
  - expr: '2'
    domain: [1, 2]
  - expr: '3'
    domain: [2, 3]
points:
  - [-1, 0, '', open]
  - [0, 0, '', closed]
  - [0, 1, '', open]
  - [1, 1, '', closed]
  - [1, 2, '', open]
  - [2, 2, '', closed]
  - [2, 3, '', open]
  - [3, 3, '(3, 3)', closed]
```

## Propriétés principales

- **Ensemble image.** Les deux fonctions ne prennent que des valeurs entières.
- **Encadrement.** $x - 1 < \lfloor x\rfloor \le x \le \lceil x\rceil < x + 1$.
- **Les entiers sont fixes.** $\lfloor n\rfloor = \lceil n\rceil = n$ pour tout entier $n$.
- **Translation par un entier.** $\lfloor x + n\rfloor = \lfloor x\rfloor + n$ pour tout entier $n$.
- **Les deux fonctions sont liées.** $\lceil x\rceil = -\lfloor -x\rfloor$, et pour un $x$ non entier, $\lceil x\rceil = \lfloor x\rfloor + 1$.

## Limites et continuité

Entre deux entiers, la partie entière est constante, donc continue. En un entier $n$, les [limites à gauche et à droite](/blog/how-to-evaluate-limits) diffèrent :

$$\lim_{x\to n^-}\lfloor x\rfloor = n - 1, \qquad \lim_{x\to n^+}\lfloor x\rfloor = n$$

Ainsi, $\lim_{x\to n}\lfloor x\rfloor$ n'existe pas, et il y a un saut de hauteur $1$. Comme la limite à droite est égale à $\lfloor n\rfloor$, la partie entière est **continue à droite**. Pour la partie entière supérieure, c'est l'inverse : $\lim_{x\to n^-}\lceil x\rceil = n$ et $\lim_{x\to n^+}\lceil x\rceil = n + 1$, donc elle est **continue à gauche**. Pour les définitions rigoureuses, consultez le guide sur la [continuité](/blog/continuity).

**Exemple : une limite en l'infini.** Déterminons $\lim_{x\to\infty}\frac{\lfloor x\rfloor}{x}$. Pour $x > 0$, en divisant $x - 1 < \lfloor x\rfloor \le x$ par $x$, on obtient $1 - \frac{1}{x} < \frac{\lfloor x\rfloor}{x} \le 1$. Les deux bornes tendent vers $1$, donc d'après le [théorème des gendarmes](/theorems/squeeze-theorem), la limite vaut $1$.

## Dérivée de la partie entière

$$\frac{d}{dx}\lfloor x\rfloor = 0 \quad \text{pour } x \notin \mathbb{Z}$$

Sur chaque intervalle ouvert $(n, n+1)$, la fonction est la constante $n$, dont la dérivée est $0$. En un entier, la fonction n'est pas continue, donc pas dérivable. Il en va de même pour la partie entière supérieure.

## Intégrale de la partie entière

Chaque intervalle unité $[k, k+1]$ apporte un rectangle de hauteur $k$ et de largeur $1$ : on additionne donc des aires de rectangles, un peu comme une [somme de Riemann](/blog/riemann-sums) qui serait exacte. Pour $x \ge 0$ :

$$\int_0^x\lfloor t\rfloor\,dt = (0 + 1 + \cdots + (n - 1)) + n(x - n) = nx - \frac{n(n+1)}{2}, \qquad n = \lfloor x\rfloor$$

La même formule reste valable pour $x$ négatif.

**Exemple.** $\int_0^{3.5}\lfloor t\rfloor\,dt = 0 + 1 + 2 + 3(0.5) = 4.5$. La formule donne le même résultat : $3(3.5) - \frac{3\cdot 4}{2} = 10.5 - 6 = 4.5$.

**Exemple avec la partie entière supérieure.** $\int_0^3\lceil t\rceil\,dt = 1 + 2 + 3 = 6$, car $\lceil t\rceil$ vaut $1$ sur $(0, 1]$, $2$ sur $(1, 2]$ et $3$ sur $(2, 3]$. Des points isolés ne modifient pas une intégrale.

## Erreurs fréquentes

1. **Arrondir les négatifs vers zéro.** $\lfloor -1.2\rfloor = -2$, et non $-1$.
2. **Affirmer que la limite en un entier existe.** Les limites à gauche et à droite diffèrent de $1$.
3. **Placer le point plein du mauvais côté.** Les marches de la partie entière sont fermées à gauche ; celles de la partie entière supérieure sont fermées à droite.
4. **Dériver en un point de saut.** La dérivée ne vaut $0$ qu'entre les entiers. En un entier, elle n'existe pas.

## Où les rencontre-t-on ?

Les fonctions en escalier modélisent tout ce qui est facturé par unités entières : l'affranchissement par tranche de poids, le stationnement à l'heure ou les tranches d'imposition. En analyse, ce sont les exemples de référence pour les limites à gauche et à droite, et pour les fonctions intégrables mais non continues. Voir la méthode générale sur les [fonctions définies par morceaux](/functions/piecewise-functions), et comparer avec le point anguleux de la [fonction valeur absolue](/functions/absolute-value-function).

## Questions fréquentes

### Qu'est-ce que la fonction partie entière ?

La partie entière $\lfloor x\rfloor$, aussi appelée partie entière inférieure, donne le plus grand entier inférieur ou égal à $x$. Par exemple, $\lfloor 2.7\rfloor = 2$ et $\lfloor -2.7\rfloor = -3$.

### Quelle est la différence entre partie entière et partie entière supérieure ?

La partie entière arrondit vers le bas et la partie entière supérieure arrondit vers le haut. Elles coïncident sur les entiers et, pour un $x$ non entier, la partie entière supérieure vaut exactement un de plus que la partie entière.

### La fonction partie entière est-elle continue ?

Elle est continue en tout point non entier et présente une discontinuité de saut en chaque entier. Elle est continue à droite partout : $\lim_{x\to n^+}\lfloor x\rfloor = n = \lfloor n\rfloor$.

### Quelle est la dérivée de la fonction partie entière ?

Entre deux entiers, la partie entière est constante, donc sa dérivée vaut $0$. En chaque entier elle fait un saut, elle n'y est donc pas dérivable.

### Comment intégrer la fonction partie entière ?

On découpe l'intervalle aux entiers. Sur chaque morceau, la fonction est constante, donc chaque morceau apporte un rectangle, par exemple $\int_0^3\lfloor x\rfloor\,dx = 0 + 1 + 2 = 3$.