# Fonctions polynômes : degré, courbes, dérivées et primitives

> Les fonctions polynômes : degré, terme de plus haut degré, comportement à l'infini, racines et extremums, et comment dériver et intégrer un polynôme.

Source : https://practicecalculus.com/fr/fonctions/fonctions-polynomes
Mis à jour : 2026-11-03

$$ f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 $$

## En bref

- **Domaine de définition:** $(-\infty, \infty)$
- **Dérivée:** $na_nx^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + \cdots + a_1$
- **Primitive:** $\frac{a_n}{n+1}x^{n+1} + \cdots + \frac{a_1}{2}x^2 + a_0x + C$
- **Continuité:** Continue et dérivable partout
- **Racines réelles:** Au plus $n$
- **Extremums locaux:** Au plus $n - 1$

## À retenir

- Un polynôme est une somme de termes $a_kx^k$ à exposants entiers naturels ; son degré est le plus grand exposant dont le coefficient est non nul.
- On dérive et on intègre un polynôme terme à terme avec la règle de la puissance.
- Chaque dérivation abaisse le degré de un, et chaque intégration l'augmente de un.
- Un polynôme de degré $n$ a au plus $n$ racines réelles et au plus $n - 1$ extremums locaux.

Une **fonction polynôme** est une somme finie de fonctions puissances à exposants entiers naturels, chacune multipliée par une constante. Les droites, les paraboles et les cubiques sont toutes des polynômes. Ce sont les fonctions les plus accueillantes de l'analyse : continues partout, lisses partout, et dérivées ou intégrées terme à terme.

## Définition et formule

$$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0, \qquad a_n \ne 0$$

- Le **degré** est $n$, la plus grande puissance dont le coefficient est non nul.
- Le **terme de plus haut degré** est $a_nx^n$ et le **coefficient dominant** est $a_n$.
- Le **terme constant** $a_0$ est l'ordonnée à l'origine, le point où la courbe coupe l'axe des $y$.

Les exposants doivent être des entiers naturels $0, 1, 2, \ldots$. Ainsi $x^3 - 2x$ est un polynôme, mais $\sqrt{x}$, $\frac{1}{x}$ et $2^x$ n'en sont pas.

| Degré | Nom | Exemple |
| --- | --- | --- |
| 0 | [constante](/functions/constant-function) | $5$ |
| 1 | [affine](/functions/linear-function) | $2x - 1$ |
| 2 | [du second degré](/functions/quadratic-function) | $x^2 + 3x$ |
| 3 | du troisième degré (cubique) | $x^3 - 3x$ |
| 4 | du quatrième degré | $x^4 - x^2$ |

## Courbe d'un polynôme

```graph
title: 'Courbe du polynôme de degré 3 y = x³ - 3x et de sa dérivée'
caption: 'La cubique admet des extremums locaux en $x = -1$ et $x = 1$, là où sa dérivée $3x^2 - 3$ s''annule.'
x: [-2.5, 2.5]
y: [-4, 5]
functions:
  - expr: x^3 - 3x
    label: y = x³ - 3x
  - expr: 3x^2 - 3
    label: y = 3x² - 3 (dérivée)
    dashed: true
points:
  - [-1, 2, 'max (-1, 2)']
  - [1, -2, 'min (1, -2)']
```

## Propriétés principales

- **Continue et dérivable partout.** Ni trou, ni saut, ni point anguleux, ni asymptote : toute limite se calcule par [substitution directe](/rules/direct-substitution).
- **Le comportement à l'infini** ne dépend que du terme de plus haut degré. Degré pair avec $a_n > 0$ : les deux branches montent. Degré impair avec $a_n > 0$ : la branche gauche descend, la branche droite monte. Un $a_n$ négatif inverse la situation.
- **Racines.** Un polynôme de degré $n$ a au plus $n$ racines réelles. Un polynôme de degré impair en a toujours au moins une, d'après le [théorème des valeurs intermédiaires](/theorems/intermediate-value-theorem).
- **Extremums locaux.** Au plus $n - 1$, car $f'$ est de degré $n - 1$.

## Dérivée d'un polynôme

On combine la [règle de la puissance](/rules/power-rule), la [règle du multiple constant](/rules/constant-multiple-rule) et la [règle de la somme](/rules/sum-and-difference-rule) :

$$f'(x) = na_nx^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + \cdots + 2a_2x + a_1$$

Le terme constant disparaît et le degré baisse de un. Dériver $n + 1$ fois donne $0$.

## Primitive d'un polynôme

$$\int f(x)\,dx = \frac{a_n}{n+1}x^{n+1} + \cdots + \frac{a_1}{2}x^2 + a_0x + C$$

Le degré augmente de un. Les intégrales définies de polynômes se calculent toujours facilement grâce au [théorème fondamental de l'analyse](/blog/fundamental-theorem-of-calculus).

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : dérivée.** $\frac{d}{dx}\left(4x^5 - 2x^3 + 7x - 1\right) = 20x^4 - 6x^2 + 7$.

**Exemple 2 : extremums locaux.** Pour $f(x) = x^3 - 3x$, $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$, qui s'annule en $x = \pm 1$. Alors $f(-1) = 2$ est un maximum local et $f(1) = -2$ est un minimum local.

**Exemple 3 : primitive.** $\int (6x^2 - 4x + 3)\,dx = 2x^3 - 2x^2 + 3x + C$.

**Exemple 4 : intégrale définie.** $\int_0^2 (x^3 - x)\,dx = \left[\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}\right]_0^2 = (4 - 2) - 0 = 2$.

## Erreurs fréquentes

1. **Dériver un produit sans développer ni utiliser la règle du produit.** $\frac{d}{dx}\left[(x^2 + 1)(x - 3)\right]$ ne vaut pas $2x \cdot 1$. Développez d'abord ou utilisez la [règle du produit](/rules/product-rule).
2. **Garder le terme constant dans une dérivée.** $\frac{d}{dx}(x^2 + 5) = 2x$, et non $2x + 5$.
3. **Oublier le $+\,C$** dans les intégrales indéfinies.
4. **Juger le comportement à l'infini d'après le premier terme écrit.** Utilisez le terme de plus haut degré, où qu'il apparaisse.

## Liens avec le reste du cours

Le quotient de deux polynômes donne les [fonctions rationnelles](/functions/rational-functions). Les polynômes de Taylor approchent d'autres fonctions par des polynômes, et les [séries de Taylor](/blog/taylor-series) poussent cette idée jusqu'à une infinité de termes. Pour les règles utilisées à chaque étape, voir les [fonctions puissances](/functions/power-functions).

## Questions fréquentes

### Comment calculer la dérivée d'un polynôme ?

On applique la règle de la puissance à chaque terme et on additionne les résultats. Par exemple, $\frac{d}{dx}(2x^3 - 5x^2 + x - 4) = 6x^2 - 10x + 1$.

### Comment trouver une primitive d'un polynôme ?

On applique la règle de la puissance à l'envers sur chaque terme : on ajoute un à l'exposant, on divise par le nouvel exposant, puis on ajoute $C$. Par exemple, $\int (3x^2 + 4x)\,dx = x^3 + 2x^2 + C$.

### Qu'est-ce qui détermine le comportement d'un polynôme à l'infini ?

Seul le terme de plus haut degré $a_nx^n$ compte quand $x \to \pm\infty$. Pour un degré pair, les deux extrémités partent dans le même sens ; pour un degré impair, en sens opposés, et le signe de $a_n$ décide lequel.

### Les polynômes sont-ils toujours continus ?

Oui. Tout polynôme est continu et dérivable en tout réel, donc les limites de polynômes se calculent toujours par substitution directe.

### Combien d'extremums locaux un polynôme peut-il avoir ?

Un polynôme de degré $n$ a au plus $n - 1$ extremums locaux, car sa dérivée est de degré $n - 1$ et s'annule donc au plus $n - 1$ fois.