# Fonctions puissances f(x) = xⁿ : courbes, dérivée, primitive et règles > Les fonctions puissances f(x) = xⁿ pour n entier, négatif ou fractionnaire : courbes, domaines, la dérivée nxⁿ⁻¹, la primitive et l'exception n = -1. Source : https://practicecalculus.com/fr/fonctions/fonctions-puissances Mis à jour : 2026-11-03 $$ f(x) = x^n $$ ## En bref - **Domaine de définition:** Tous les réels pour $n \ge 0$ entier ; $x \ne 0$ pour $n$ négatif - **Dérivée:** $nx^{n-1}$ - **Primitive:** $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ - **Exception:** $\int x^{-1}\,dx = \ln|x| + C$ - **Parité:** Paire pour $n$ entier pair, impaire pour $n$ entier impair - **Passe par:** $(1, 1)$ pour tout $n$ ## À retenir - Une fonction puissance est $f(x) = x^n$ avec un exposant constant $n$, qui peut être entier, négatif ou fractionnaire. - Sa dérivée est $nx^{n-1}$ pour toute constante réelle $n$. - Une primitive est $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, sauf lorsque $n = -1$, où c'est $\ln|x| + C$. - Réécrivez les racines et les inverses sous forme de puissances avant de dériver ou d'intégrer. Une **fonction puissance** élève la variable à un exposant fixe : $f(x) = x^n$. Cette famille comprend les paraboles, les cubiques, la fonction inverse et les racines, et une seule règle, la [règle de la puissance](/rules/power-rule), permet de dériver chacune d'elles. ## Formule $$f(x) = x^n$$ L'exposant $n$ est une constante. Plus généralement, $f(x) = kx^n$ avec un coefficient constant $k$. Les cas les plus courants : | $n$ | Fonction | Nom | | --- | --- | --- | | $0$ | $1$ | [constante](/functions/constant-function) | | $1$ | $x$ | fonction identité | | $2$ | $x^2$ | fonction carré (parabole) | | $3$ | $x^3$ | fonction cube | | $-1$ | $\frac{1}{x}$ | [fonction inverse](/functions/reciprocal-function) | | $\frac{1}{2}$ | $\sqrt{x}$ | [racine carrée](/functions/square-root-function) | ## Courbes des fonctions puissances ```graph title: 'Courbes des fonctions puissances y = x², y = x³ et y = √x' caption: 'Toutes les fonctions puissances passent par $(1, 1)$. Les puissances paires sont symétriques par rapport à l''axe des $y$, les puissances impaires par rapport à l''origine.' x: [-2.5, 2.5] y: [-3, 4] functions: - expr: x^2 label: y = x² - expr: x^3 label: y = x³ - expr: sqrt(x) label: y = √x points: - [1, 1, '(1, 1)'] ``` Comment l'exposant façonne la courbe : - **$n$ entier pair** ($x^2, x^4, \ldots$) : courbe en U, fonction paire, ensemble image $[0, \infty)$. - **$n$ entier impair** ($x^3, x^5, \ldots$) : courbe en S, fonction impaire, ensemble image tous les réels. - **$n$ négatif** ($x^{-1}, x^{-2}, \ldots$) : non définie en $0$, avec une asymptote verticale $x = 0$ et une asymptote horizontale $y = 0$. - **$n = \frac{p}{q}$ fractionnaire** : une racine d'indice pair ($q$ pair) restreint le domaine à $x \ge 0$ ; une racine d'indice impair autorise tous les réels. - Sur $(0, 1)$, les puissances élevées sont plus petites ; sur $(1, \infty)$, elles sont plus grandes. ## Dérivée d'une fonction puissance $$\frac{d}{dx}\,x^n = nx^{n-1}$$ On fait descendre l'exposant, puis on lui retire un. C'est vrai pour toute constante réelle $n$, partout où $x^n$ est dérivable. Remarquez que pour $0 < n < 1$, comme $\sqrt{x}$, la dérivée tend vers l'infini en $x = 0$, où la courbe a une tangente verticale. ## Primitive d'une fonction puissance $$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \qquad n \ne -1$$ On ajoute un à l'exposant, puis on divise par le nouvel exposant. Le cas $n = -1$ diviserait par zéro ; à la place, $$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$ Voir la [règle de la puissance pour les primitives](/rules/reverse-power-rule). ## Exemples corrigés **Exemple 1.** $\frac{d}{dx}x^7 = 7x^6$. **Exemple 2 : puissance négative.** $\frac{d}{dx}\frac{4}{x^3} = \frac{d}{dx}4x^{-3} = -12x^{-4} = -\frac{12}{x^4}$. **Exemple 3 : puissance fractionnaire.** $\frac{d}{dx}\sqrt[3]{x} = \frac{d}{dx}x^{1/3} = \frac{1}{3}x^{-2/3}$. **Exemple 4 : primitive.** $\int x^{3/2}\,dx = \frac{x^{5/2}}{5/2} + C = \frac{2}{5}x^{5/2} + C$. **Exemple 5 : intégrale définie.** $\int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \left[2x^{1/2}\right]_1^4 = 4 - 2 = 2$. ## Erreurs fréquentes 1. **Appliquer la règle de la puissance à $2^x$.** C'est une [fonction exponentielle](/functions/exponential-functions) ; sa dérivée est $2^x\ln 2$. 2. **Retirer un à un exposant négatif dans le mauvais sens.** La dérivée de $x^{-3}$ est $-3x^{-4}$, et non $-3x^{-2}$. 3. **Appliquer la formule de primitive pour $n = -1$.** $\frac{x^0}{0}$ n'a aucun sens ; utilisez $\ln|x|$. 4. **Ne pas réécrire d'abord.** Transformez $\frac{1}{x^2}$ en $x^{-2}$ et $\sqrt{x}$ en $x^{1/2}$ avant d'appliquer l'une ou l'autre règle. ## Liens avec le reste du cours Les sommes de fonctions puissances à exposants entiers naturels sont les [fonctions polynômes](/functions/polynomial-functions), et les séries entières prolongent cette idée à une infinité de termes. Pour une explication plus détaillée avec des exercices, lisez les guides sur la [règle de la puissance](/blog/power-rule) et sur les [primitives](/blog/antiderivatives). ## Questions fréquentes ### Qu'est-ce qu'une fonction puissance ? Une fonction puissance est de la forme $f(x) = x^n$ (ou $kx^n$) où l'exposant $n$ est une constante. Par exemple $x^3$, $x^{-1} = \frac{1}{x}$ et $x^{1/2} = \sqrt{x}$. ### Quelle est la dérivée de x^n ? D'après la règle de la puissance, $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$. C'est vrai pour toute constante réelle $n$, y compris les exposants négatifs et fractionnaires. ### Quelle est la primitive de x^n ? Pour $n \ne -1$, $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. Lorsque $n = -1$, la formule diviserait par zéro, et la primitive est alors $\ln|x| + C$. ### Quelle est la différence entre une fonction puissance et une fonction exponentielle ? Dans une fonction puissance comme $x^2$, la variable est la base et l'exposant est fixe. Dans une fonction exponentielle comme $2^x$, la base est fixe et la variable est l'exposant, et les règles de dérivation sont complètement différentes.