# Logarithme népérien ln(x) : courbe, propriétés, dérivée et primitive

> Le logarithme népérien ln x : sa courbe, ses propriétés algébriques, pourquoi sa dérivée vaut 1/x, sa primitive x ln x - x + C et des exemples corrigés.

Source : https://practicecalculus.com/fr/fonctions/logarithme-neperien
Mis à jour : 2026-11-03

$$ f(x) = \ln x $$

## En bref

- **Domaine de définition:** $(0, \infty)$
- **Ensemble image:** $(-\infty, \infty)$
- **Dérivée:** $\frac{1}{x}$
- **Primitive:** $x\ln x - x + C$
- **Valeurs clés:** $\ln 1 = 0$, $\ln e = 1$
- **Réciproque:** $e^x$
- **Asymptote:** $x = 0$

## À retenir

- Le logarithme népérien $\ln x$ est la réciproque de $e^x$ : $\ln x = y$ signifie $e^y = x$.
- Sa dérivée est $\frac{1}{x}$ et, avec la règle de dérivation en chaîne, $\frac{d}{dx}\ln g(x) = \frac{g'(x)}{g(x)}$.
- Sa primitive, obtenue par intégration par parties, est $x\ln x - x + C$.
- Les propriétés du logarithme transforment les produits en sommes et les puissances en multiples, ce qui simplifie les dérivées difficiles.

Le **logarithme népérien** $\ln x$ répond à la question « à quelle puissance faut-il élever $e$ pour obtenir $x$ ? ». C'est la réciproque de la [fonction exponentielle](/functions/natural-exponential-function), et sa dérivée est l'expression remarquablement simple $\frac{1}{x}$, ce qui en fait le logarithme de référence en analyse.

## Définition et formule

$$\ln x = y \iff e^y = x, \qquad x > 0$$

De manière équivalente, $\ln x$ est l'aire sous la courbe de la [fonction inverse](/functions/reciprocal-function) entre $1$ et $x$ :

$$\ln x = \int_1^x \frac{1}{t}\,dt$$

## Courbe de ln x

```graph
title: 'Courbe de y = ln(x) et de sa réciproque y = eˣ'
caption: 'Le logarithme népérien est le symétrique de $e^x$ par rapport à la droite $y = x$. Il coupe l''axe des $x$ en $(1, 0)$ et admet une asymptote verticale d''équation $x = 0$.'
x: [-3, 6]
y: [-3, 6]
functions:
  - expr: ln(x)
    label: y = ln x
  - expr: e^x
    label: y = eˣ
  - expr: x
    label: y = x
    dashed: true
points:
  - [1, 0, '(1, 0)']
  - [2.718, 1, '(e, 1)']
```

## Propriétés principales

- **Domaine de définition** $(0, \infty)$, **ensemble image** tous les réels.
- **Valeurs clés :** $\ln 1 = 0$, $\ln e = 1$, $\ln e^k = k$.
- **Strictement croissante** partout ($\frac{1}{x} > 0$) et **concave** ($-\frac{1}{x^2} < 0$).
- **Asymptote verticale** $x = 0$ : $\lim_{x \to 0^+}\ln x = -\infty$. De plus $\lim_{x \to \infty}\ln x = \infty$, mais très lentement ; $\ln x$ croît moins vite que toute puissance positive de $x$.
- **Identités de réciprocité :** $e^{\ln x} = x$ pour $x > 0$ et $\ln e^x = x$ pour tout $x$.

## Propriétés algébriques du logarithme

| Propriété | Formule |
| --- | --- |
| Produit | $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ |
| Quotient | $\ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b$ |
| Puissance | $\ln(a^k) = k\ln a$ |
| Changement de base | $\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$ |

Ces formules sont valables pour $a, b > 0$. Il n'existe aucune formule pour $\ln(a + b)$.

## Dérivée de ln x

$$\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$$

Idée de la preuve : si $y = \ln x$, alors $e^y = x$. En dérivant implicitement, on obtient $e^y y' = 1$, donc $y' = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}$. Avec la [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule) :

$$\frac{d}{dx}\ln g(x) = \frac{g'(x)}{g(x)}$$

## Primitive de ln x

Par [intégration par parties](/blog/integration-by-parts) avec $u = \ln x$, $dv = dx$, donc $du = \frac{1}{x}\,dx$ et $v = x$ :

$$\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x \cdot \frac{1}{x}\,dx = x\ln x - x + C$$

Le sens inverse est le plus fréquent : $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$.

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : règle de dérivation en chaîne.** $\frac{d}{dx}\ln(x^2 + 1) = \frac{2x}{x^2 + 1}$.

**Exemple 2 : simplifier d'abord.** $\frac{d}{dx}\ln\frac{x^3}{x + 1} = \frac{d}{dx}\left[3\ln x - \ln(x + 1)\right] = \frac{3}{x} - \frac{1}{x + 1}$.

**Exemple 3 : règle du produit.** $\frac{d}{dx}(x^2\ln x) = 2x\ln x + x$.

**Exemple 4 : intégrale définie.** $\int_1^e \ln x\,dx = \left[x\ln x - x\right]_1^e = (e - e) - (0 - 1) = 1$.

**Exemple 5 : intégrale logarithmique.** Avec $u = x^2 + 4$, $\int \frac{2x}{x^2 + 4}\,dx = \ln(x^2 + 4) + C$. Pas besoin de valeur absolue puisque $x^2 + 4 > 0$.

## Erreurs fréquentes

1. **Couper le logarithme d'une somme.** $\ln(x + 1) \ne \ln x + \ln 1$.
2. **Écrire $\frac{d}{dx}\ln(5x) = \frac{1}{5x}$.** La règle de dérivation en chaîne donne $\frac{5}{5x} = \frac{1}{x}$.
3. **Écrire $\int \ln x\,dx = \frac{1}{x} + C$.** C'est la dérivée, pas la primitive.
4. **Confondre $\ln x^2$ et $(\ln x)^2$.** Le premier vaut $2\ln x$ ; le second est un carré.
5. **Prendre le $\ln$ de $0$ ou d'un nombre négatif.** Vérifiez le domaine de définition, surtout après un changement de variable.

## Liens avec le reste du cours

Prendre le $\ln$ des deux membres transforme des produits et des puissances difficiles en sommes : c'est l'idée de la [dérivation logarithmique](/rules/logarithmic-differentiation). Les logarithmes dans d'autres bases ne sont que des logarithmes népériens multipliés par une constante ; voir les [fonctions logarithmes](/functions/logarithmic-functions). Pour vous entraîner davantage, lisez le guide sur les [dérivées des fonctions exponentielles et logarithmes](/blog/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions).

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée de ln x ?

La dérivée de $\ln x$ est $\frac{1}{x}$ pour $x > 0$. Plus généralement, $\frac{d}{dx}\ln|x| = \frac{1}{x}$ pour tout $x \ne 0$.

### Quelle est la primitive de ln x ?

On intègre par parties avec $u = \ln x$ et $dv = dx$ : $\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C$.

### Quelle est la différence entre ln et log ?

$\ln x$ est le logarithme de base $e \approx 2.718$. Dans la plupart des manuels, $\log x$ désigne le logarithme décimal (base $10$), même si certains ouvrages avancés utilisent aussi $\log$ pour la base $e$.

### Quelle est la dérivée de ln(2x) ?

Par la règle de dérivation en chaîne, $\frac{d}{dx}\ln(2x) = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x}$. On peut aussi écrire $\ln(2x) = \ln 2 + \ln x$, et la constante $\ln 2$ a pour dérivée $0$.

### Pourquoi le ln d'un nombre négatif n'est-il pas défini ?

Parce que $e^y$ est strictement positif pour tout réel $y$ : aucune puissance réelle de $e$ n'est égale à un nombre négatif ou nul. Donc $\ln x$ n'est défini que pour $x > 0$.