# Sécante, cosécante et cotangente : courbes, dérivées, primitives

> Les fonctions trigonométriques sec x, csc x et cot x : définitions, courbes, asymptotes, leurs trois dérivées et primitives, avec des exemples corrigés.

Source : https://practicecalculus.com/fr/fonctions/secante-cosecante-cotangente
Mis à jour : 2026-11-03

$$ \sec x = \frac{1}{\cos x}, \quad \csc x = \frac{1}{\sin x}, \quad \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $$

## En bref

- **Domaine de sec x:** $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$
- **Ensemble image de sec x:** $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$
- **Dérivée:** $\sec x \tan x$
- **Primitive:** $\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$
- **Périodes:** $\sec$ et $\csc$ : $2\pi$ ; $\cot$ : $\pi$

## À retenir

- La sécante, la cosécante et la cotangente sont les inverses du cosinus, du sinus et de la tangente.
- Chacune a des asymptotes verticales là où la fonction dont elle est l'inverse s'annule.
- Dérivées : $(\sec x)' = \sec x\tan x$, $(\csc x)' = -\csc x\cot x$, $(\cot x)' = -\csc^2 x$.
- Primitives : $\int\sec x\,dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$ et $\int\csc x\,dx = -\ln|\csc x + \cot x| + C$.

Les **fonctions sécante, cosécante et cotangente** sont les inverses des fonctions trigonométriques de base : $\sec x = \frac{1}{\cos x}$, $\csc x = \frac{1}{\sin x}$ et $\cot x = \frac{1}{\tan x}$. En France, on les note aussi cosec et cotan. Elles apparaissent sans cesse dans les formules de dérivées et de primitives : même si vous les tracez rarement, vous devez connaître leurs propriétés en analyse.

## Définitions

$$\sec x = \frac{1}{\cos x}, \qquad \csc x = \frac{1}{\sin x}, \qquad \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\tan x}$$

Un moyen mnémotechnique pour les associer : chaque fonction et sa partenaire ont exactement un « co » entre elles. La sécante va avec le **co**sinus, la **co**sécante va avec le sinus.

| Fonction | Inverse de | Non définie en | Période | Ensemble image |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $\sec x$ | $\cos x$ | $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ | $2\pi$ | $\lvert y\rvert \ge 1$ |
| $\csc x$ | $\sin x$ | $x = k\pi$ | $2\pi$ | $\lvert y\rvert \ge 1$ |
| $\cot x$ | $\tan x$ | $x = k\pi$ | $\pi$ | tous les réels |

## Courbes de la sécante et de la cosécante

```graph
title: 'Courbe de y = sec x comparée à y = cos x'
caption: 'Là où $\cos x = \pm 1$, $\sec x$ la touche. Là où $\cos x \to 0$, $\sec x$ s''envole vers une asymptote.'
x: [-4.6, 4.6]
y: [-5, 5]
functions:
  - expr: sec(x)
    label: y = sec x
  - expr: cos(x)
    label: y = cos x
    dashed: true
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
  - [3.1416, -1, '(π, −1)']
vertical:
  - {x: 1.5708, label: 'x = π/2'}
  - {x: -1.5708, label: 'x = −π/2'}
```

La sécante n'est jamais strictement comprise entre $-1$ et $1$ : diviser $1$ par un nombre de $[-1, 1]$ donne toujours un résultat de valeur absolue au moins $1$. La courbe de la cosécante a la même forme, décalée de $\frac{\pi}{2}$ vers la droite, avec des asymptotes aux multiples de $\pi$.

```graph
title: 'Courbe de y = cot x avec ses asymptotes x = 0 et x = π'
caption: 'La cotangente descend de $\infty$ à $-\infty$ sur chaque intervalle $(k\pi, (k+1)\pi)$ et s''annule en $x = \frac{\pi}{2}$.'
x: [-3, 6.2]
y: [-5, 5]
functions:
  - expr: cot(x)
    label: y = cot x
points:
  - [1.5708, 0, '(π/2, 0)']
vertical:
  - {x: 0, label: 'x = 0'}
  - {x: 3.1416, label: 'x = π'}
```

## Dérivées de sec, csc et cot

| Fonction | Dérivée |
| --- | --- |
| $\sec x$ | $\sec x\tan x$ |
| $\csc x$ | $-\csc x\cot x$ |
| $\cot x$ | $-\csc^2 x$ |

**Pourquoi $(\sec x)' = \sec x\tan x$.** On écrit $\sec x = (\cos x)^{-1}$ et on applique la [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule) :

$$\frac{d}{dx}(\cos x)^{-1} = -(\cos x)^{-2}\cdot(-\sin x) = \frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x} = \sec x\tan x$$

Les mêmes étapes avec $\sin x$ donnent $(\csc x)' = -\csc x\cot x$, et la [règle du quotient](/rules/quotient-rule) appliquée à $\frac{\cos x}{\sin x}$ donne $(\cot x)' = \frac{-\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x} = -\csc^2 x$.

## Primitives de sec, csc et cot

| Fonction | Primitive |
| --- | --- |
| $\sec x$ | $\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$ |
| $\csc x$ | $-\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C$ |
| $\cot x$ | $\ln\lvert\sin x\rvert + C$ |
| $\sec^2 x$ | $\tan x + C$ |
| $\csc^2 x$ | $-\cot x + C$ |
| $\sec x\tan x$ | $\sec x + C$ |
| $\csc x\cot x$ | $-\csc x + C$ |

**La primitive de la sécante.** On multiplie le numérateur et le dénominateur par $\sec x + \tan x$ :

$$\int \sec x\,dx = \int \frac{\sec^2 x + \sec x\tan x}{\sec x + \tan x}\,dx$$

Le numérateur est exactement la dérivée du dénominateur, donc avec $u = \sec x + \tan x$ l'intégrale vaut $\int\frac{du}{u} = \ln|\sec x + \tan x| + C$.

**La primitive de la cotangente.** Avec $u = \sin x$, $\int\frac{\cos x}{\sin x}\,dx = \int\frac{du}{u} = \ln|\sin x| + C$.

## Exemples corrigés

**Exemple 1.** Dériver $f(x) = \sec(2x)$. Par la règle de dérivation en chaîne, $f'(x) = 2\sec(2x)\tan(2x)$.

**Exemple 2.** Dériver $g(x) = x\cot x$. Par la [règle du produit](/rules/product-rule), $g'(x) = \cot x - x\csc^2 x$.

**Exemple 3.** Calculer $\int_0^{\pi/3}\sec x\tan x\,dx$. Une primitive est $\sec x$, donc le résultat est $\sec\frac{\pi}{3} - \sec 0 = 2 - 1 = 1$.

**Exemple 4.** Calculer $\int \csc^2(5x)\,dx$. Avec $u = 5x$, on obtient $-\frac{1}{5}\cot(5x) + C$.

## Erreurs fréquentes

1. **Confondre inverse et réciproque.** $\sec x = \frac{1}{\cos x}$, mais $\cos^{-1}x$ désigne l'[arc cosinus](/functions/arccosine).
2. **Associer la sécante au sinus.** La sécante est l'inverse du cosinus, et la cosécante l'inverse du sinus.
3. **Perdre les signes moins.** Les dérivées de $\csc x$ et de $\cot x$ sont toutes deux négatives.
4. **Croire que $\int\sec x\,dx = \sec x\tan x$.** C'est la dérivée, pas la primitive.

## Où vous les utiliserez

Les identités $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ et $1 + \cot^2 x = \csc^2 x$ sont au cœur du [changement de variable trigonométrique](/blog/trig-substitution), où $\sqrt{1 + x^2}$ devient $\sec\theta$. La sécante apparaît aussi dans la dérivée de la [tangente](/functions/tangent-function), $(\tan x)' = \sec^2 x$. Pour un récapitulatif des six dérivées trigonométriques, voir les [dérivées des fonctions trigonométriques](/blog/derivatives-of-trig-functions).

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée de sec x ?

La dérivée de $\sec x$ est $\sec x\tan x$. On écrit $\sec x = (\cos x)^{-1}$ et on applique la règle de dérivation en chaîne : $-(\cos x)^{-2}(-\sin x) = \frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}$.

### Quelle est la primitive de sec x ?

On a $\int \sec x\,dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$. L'astuce classique consiste à multiplier par $\frac{\sec x + \tan x}{\sec x + \tan x}$ : le numérateur devient alors la dérivée du dénominateur.

### Quelles sont les dérivées de csc x et cot x ?

La dérivée de $\csc x$ est $-\csc x\cot x$ et la dérivée de $\cot x$ est $-\csc^2 x$. Les deux portent un signe moins, comme toutes les dérivées des fonctions en « co ».

### La sécante est-elle la réciproque du cosinus ?

Non. $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ est l'inverse du cosinus. La fonction réciproque du cosinus est $\arccos x$, parfois notée $\cos^{-1}x$, qui est une fonction différente.