# Intégrale d'une constante et de 1 : formule et exemples

> L'intégrale d'une constante k vaut kx + C et celle de 1 vaut x + C. Pourquoi, l'image du rectangle, les intégrales définies et les erreurs à éviter.

Source : https://practicecalculus.com/fr/integrales/integrale-d-une-constante
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \int k\,dx = kx + C $$

## En bref

- **Primitive:** $kx + C$
- **Intégrale de 1:** $\int 1\,dx = x + C$
- **Intégrale de 0:** $\int 0\,dx = C$
- **Intégrale définie:** $\int_a^b k\,dx = k(b - a)$
- **Vérification:** $\dfrac{d}{dx}(kx + C) = k$

## À retenir

- L'intégrale d'une constante $k$ est $kx + C$. L'intégrale de $1$ est $x + C$.
- Géométriquement, $\int_a^b k\,dx = k(b - a)$ est l'aire d'un rectangle de hauteur $k$ et de largeur $b - a$.
- Toute expression sans $x$ est une constante : $\int \pi\,dx = \pi x + C$ et $\int e^2\,dx = e^2 x + C$.
- L'intégrale de $0$ est $C$, et non $0$, car toute constante a pour dérivée $0$.

L'**intégrale d'une constante $k$ est $kx + C$**. En particulier, l'**intégrale de $1$ est $x + C$**. C'est l'intégrale la plus simple de l'analyse, et presque toutes les autres intégrales l'utilisent quelque part, en général pour le dernier terme d'un polynôme.

$$\int k\,dx = kx + C, \qquad \int 1\,dx = \int dx = x + C$$

## Graphique : une constante donne un rectangle

```graph
title: 'Aire sous y = 3 de x = 0 à x = 2, avec la primitive y = 3x'
caption: 'Le rectangle hachuré a une hauteur de $3$ et une largeur de $2$, donc son aire vaut $6$. La droite en pointillés $y = 3x$ est la primitive : elle monte d''exactement $6$ entre $x = 0$ et $x = 2$.'
x: [-0.5, 3]
y: [-1, 8]
functions:
  - expr: '3'
    label: y = 3
  - expr: 3x
    label: y = 3x (primitive)
    dashed: true
shade: {expr: '3', from: 0, to: 2}
points:
  - [2, 6, '(2, 6)']
```

L'aire sous une droite horizontale est toujours un rectangle. Sa hauteur est $k$ et sa largeur est la distance parcourue par $x$, donc l'aire accumulée croît comme $kx$. Toute la formule tient dans ce dessin.

## Pourquoi l'intégrale de k vaut kx + C

Une intégrale pose la question : quelle fonction a cette dérivée ? On cherche une fonction dont la pente vaut $k$ partout. Une droite de pente $k$ fait exactement cela :

$$\frac{d}{dx}(kx) = k$$

Ajouter une constante $C$ déplace la droite vers le haut ou vers le bas sans changer sa pente, donc toutes les fonctions $kx + C$ conviennent. On peut aussi y voir la [règle de la puissance inverse](/rules/reverse-power-rule) avec $n = 0$ : comme $k = kx^0$,

$$\int kx^0\,dx = k\cdot\frac{x^{1}}{1} + C = kx + C$$

## Vérification par dérivation

Vérifiez toujours une primitive en la dérivant :

$$\frac{d}{dx}\left(kx + C\right) = k + 0 = k \checkmark$$

La page correspondante côté dérivées est la [dérivée d'une constante](/derivatives/constant), qui fait le même raisonnement dans l'autre sens : la dérivée de toute constante est $0$.

## Intégrales définies d'une constante

Avec le [théorème fondamental de l'analyse](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-2) :

$$\int_a^b k\,dx = \Big[kx\Big]_a^b = kb - ka = k(b - a)$$

Si $k$ est négatif, le rectangle est sous l'axe et le résultat est négatif. Par exemple, $\int_0^4 (-2)\,dx = -8$.

## Exemples corrigés

**Exemple 1.** $\int 7\,dx = 7x + C$.

**Exemple 2 : des constantes qui ressemblent à des variables.** Tout nombre sans $x$ est une constante, même s'il est écrit avec un symbole :

$$\int \pi\,dx = \pi x + C, \qquad \int e^2\,dx = e^2 x + C, \qquad \int \ln 5\,dx = x\ln 5 + C$$

**Exemple 3 : dans un polynôme.** Avec les [règles de linéarité](/rules/integral-linearity-rules) :

$$\int (6x^2 - 4x + 9)\,dx = 2x^3 - 2x^2 + 9x + C$$

Le $9$ devient $9x$. Voir l'[intégrale de x](/integrals/x) et l'[intégrale de x²](/integrals/x-squared) pour les deux autres termes.

**Exemple 4 : une autre variable.** $\int 3\,dt = 3t + C$. La variable du résultat est celle qui apparaît dans $dt$.

**Exemple 5 : une intégrale définie.** $\int_{-1}^{4} 3\,dx = 3\big(4 - (-1)\big) = 15$.

## Erreurs fréquentes

1. **Intégrer une constante en 0.** C'est la règle de dérivation. L'intégration va dans l'autre sens : $\int 5\,dx = 5x + C$, et non $0$.
2. **Écrire $5 + C$.** Le résultat doit contenir $x$. Vérification : la dérivée de $5 + C$ est $0$, pas $5$.
3. **Oublier le $+ C$.** Sans lui, on n'a qu'une seule primitive, pas toutes.
4. **Traiter $e^2$ ou $\pi^2$ comme une puissance de $x$.** Ce sont de simples nombres. $\int e^2\,dx$ vaut $e^2x + C$, et non $\frac{e^3}{3}$.

Envie de vous entraîner ? Essayez les [exercices sur les primitives](/practice-problems/antiderivatives) ou lisez le guide sur les [primitives](/blog/antiderivatives).

## Questions fréquentes

### Quelle est l'intégrale de 1 ?

L'intégrale de $1$ est $x + C$. Écrite seule, $\int dx$ signifie la même chose et vaut aussi $x + C$.

### Quelle est l'intégrale d'une constante k ?

C'est $kx + C$. Vérifiez en dérivant : la dérivée de $kx$ est $k$ et celle de $C$ est $0$.

### Quelle est l'intégrale de 0 ?

C'est une constante arbitraire $C$. Toute fonction constante a pour dérivée $0$, donc les primitives de $0$ sont toutes les constantes.

### Combien vaut l'intégrale de 5 entre 2 et 7 ?

Elle vaut $5(7 - 2) = 25$, l'aire d'un rectangle de $5$ sur $5$.