# Intégrale de 1/(1+x²) : formule, méthode et exemples

> L'intégrale de 1/(1+x²) vaut arctan x + C. Pourquoi, avec un changement de variable x = tan θ, la version 1/(a²+x²), un graphique et des exemples.

Source : https://practicecalculus.com/fr/integrales/integrale-de-1-sur-1-plus-x-carre
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C $$

## En bref

- **Primitive:** $\arctan x + C$
- **Forme générale:** $\displaystyle\int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$
- **Méthode:** Changement de variable $x = \tan\theta$, ou reconnaître la dérivée de arctan
- **De 0 à 1:** $\dfrac{\pi}{4}$
- **Sur toute la droite réelle:** $\pi$

## À retenir

- L'intégrale de $\frac{1}{1+x^2}$ est $\arctan x + C$, car la dérivée de $\arctan x$ est $\frac{1}{1+x^2}$.
- Pour une constante $a > 0$, $\int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$. N'oubliez pas le $\frac{1}{a}$ devant.
- S'il y a un $x$ au numérateur, comme dans $\frac{x}{1+x^2}$, le résultat est un logarithme, pas un arctan.
- Les trinômes comme $x^2 + 2x + 5$ se ramènent à un arctan après mise sous forme canonique.

L'**intégrale de $\dfrac{1}{1+x^2}$ est $\arctan x + C$**. C'est l'une des rares intégrales à reconnaître immédiatement, car elle transforme une simple fonction rationnelle en un angle.

$$\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$$

La version plus générale, pour toute constante $a > 0$, est

$$\int \frac{1}{a^2+x^2}\,dx = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$$

## Graphique de 1/(1+x²) et de sa primitive

```graph
title: 'y = 1/(1+x²), avec l''aire de 0 à 1 hachurée'
caption: 'L''aire hachurée vaut $\arctan 1 - \arctan 0 = \frac{\pi}{4} \approx 0.785$. La courbe en pointillés est la primitive $\arctan x$, qui se stabilise en $\pm\frac{\pi}{2}$.'
x: [-5, 5]
y: [-2, 2]
functions:
  - expr: 1/(1+x^2)
    label: y = 1/(1+x²)
  - expr: arctan(x)
    label: y = arctan x (primitive)
    dashed: true
shade:
  expr: 1/(1+x^2)
  from: 0
  to: 1
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
```

La courbe $\frac{1}{1+x^2}$ est positive partout, donc sa primitive est toujours croissante. Elle s'aplatit aussi très vite, c'est pourquoi $\arctan x$ s'approche des droites horizontales $y = \pm\frac{\pi}{2}$.

## Comment intégrer 1/(1+x²) pas à pas

On peut simplement reconnaître la [dérivée de arctan x](/derivatives/arctan-x). Pour voir d'où vient le résultat, on utilise le changement de variable $x = \tan\theta$.

1. Poser $x = \tan\theta$, donc $dx = \sec^2\theta\,d\theta$ (où sec θ désigne 1/cos θ).
2. Utiliser l'identité $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ :
$$\int \frac{\sec^2\theta}{1+\tan^2\theta}\,d\theta = \int \frac{\sec^2\theta}{\sec^2\theta}\,d\theta = \int 1\,d\theta = \theta + C$$
3. Revenir à $x$. Comme $x = \tan\theta$, on a $\theta = \arctan x$.

Pour $\frac{1}{a^2+x^2}$, on met $a^2$ en facteur et on pose $u = \frac{x}{a}$, $dx = a\,du$ :

$$\int \frac{dx}{a^2\left(1 + \frac{x^2}{a^2}\right)} = \frac{1}{a^2}\int \frac{a\,du}{1+u^2} = \frac{1}{a}\arctan u + C = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$$

C'est l'idée du [changement de variable trigonométrique](/blog/trig-substitution), dans sa forme la plus simple.

## Vérification par dérivation

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}\right) = \frac{1}{a}\cdot\frac{1}{1 + \frac{x^2}{a^2}}\cdot\frac{1}{a} = \frac{1}{a^2 + x^2}$$

Avec $a = 1$, on retrouve $\frac{1}{1+x^2}$.

## Intégrales définies

| Intégrale | Valeur |
| --- | --- |
| $\int_0^1 \frac{dx}{1+x^2}$ | $\frac{\pi}{4} \approx 0.785$ |
| $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{1+x^2}$ | $\frac{\pi}{2}$ |
| $\int_0^{\sqrt{3}} \frac{dx}{1+x^2}$ | $\frac{\pi}{3}$ |
| $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1+x^2}$ | $\pi$ |

La dernière est une [intégrale impropre](/blog/improper-integrals). Elle converge bien que l'intervalle soit infini, car $\frac{1}{1+x^2}$ décroît comme $\frac{1}{x^2}$.

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : une constante autre que 1.** $\displaystyle\int \frac{dx}{9 + x^2}$. Ici $a = 3$ :

$$\int \frac{dx}{9+x^2} = \frac{1}{3}\arctan\frac{x}{3} + C$$

**Exemple 2 : un coefficient devant x².** $\displaystyle\int \frac{dx}{1 + 4x^2}$. On pose $u = 2x$, $du = 2\,dx$ :

$$\frac{1}{2}\int \frac{du}{1+u^2} = \frac{1}{2}\arctan(2x) + C$$

**Exemple 3 : forme canonique.** $\displaystyle\int \frac{dx}{x^2 + 2x + 5}$. On écrit $x^2 + 2x + 5 = (x+1)^2 + 4$, puis on utilise $a = 2$ avec $u = x + 1$ :

$$\int \frac{dx}{(x+1)^2 + 4} = \frac{1}{2}\arctan\frac{x+1}{2} + C$$

**Exemple 4 : séparer le numérateur.** $\displaystyle\int \frac{x + 3}{x^2 + 1}\,dx$. On sépare en deux intégrales connues :

$$\int \frac{x}{x^2+1}\,dx + 3\int \frac{dx}{x^2+1} = \frac{1}{2}\ln(x^2+1) + 3\arctan x + C$$

La première partie est traitée sur la page [intégrale de x/(x²+1)](/integrals/x-over-x-squared-plus-1).

## Erreurs fréquentes

1. **Écrire $\ln(1 + x^2)$.** C'est la primitive de $\frac{2x}{1+x^2}$, pas de $\frac{1}{1+x^2}$. Sans $x$ au numérateur, il n'y a pas de $du$ pour un changement de variable logarithmique.
2. **Oublier le $\frac{1}{a}$.** $\int \frac{dx}{4+x^2}$ vaut $\frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2}$, et non $\arctan\frac{x}{2}$. Dérivez votre résultat pour le repérer.
3. **La confondre avec $\frac{1}{1-x^2}$.** Un signe moins change tout. $\frac{1}{1-x^2}$ demande une [décomposition en éléments simples](/blog/partial-fractions) et donne des logarithmes ; voir l'[intégrale de 1/(x²−1)](/integrals/1-over-x-squared-minus-1).
4. **Utiliser des degrés.** $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$, et non $45$. En analyse, on travaille toujours en radians.

Pour la fonction réciproque elle-même, voir la page [arctangente](/functions/arctangent). Pour intégrer $\arctan x$ (au lieu de l'obtenir comme résultat), voir l'[intégrale de arctan x](/integrals/arctan-x).

## Questions fréquentes

### Quelle est l'intégrale de 1/(1+x²) ?

C'est $\arctan x + C$, aussi noté $\tan^{-1} x + C$.

### Quelle est l'intégrale de 1/(a²+x²) ?

C'est $\frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C$ pour $a > 0$. Par exemple, $\int \frac{dx}{4+x^2} = \frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2} + C$.

### Quelle est l'intégrale de x/(1+x²) ?

C'est $\frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$. On pose $u = 1 + x^2$, donc $du = 2x\,dx$. Le $x$ supplémentaire au numérateur transforme l'arctan en logarithme.

### Combien vaut l'intégrale de 1/(1+x²) de moins l'infini à l'infini ?

Elle vaut $\pi$. La primitive $\arctan x$ va de $-\frac{\pi}{2}$ à $\frac{\pi}{2}$, donc l'aire totale vaut $\frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \pi$.