# Intégrale de 1/√(1−x²) : formule, méthode et exemples

> L'intégrale de 1/√(1−x²) vaut arcsin x + C. Le changement de variable x = sin θ, la version 1/√(a²−x²), un graphique, des intégrales définies et des exemples.

Source : https://practicecalculus.com/fr/integrales/integrale-de-1-sur-racine-de-1-moins-x-carre
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \arcsin x + C $$

## En bref

- **Primitive:** $\arcsin x + C$
- **Forme générale:** $\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin\frac{x}{a} + C$
- **Valable pour:** $-1 < x < 1$ (ou $\lvert x\rvert < a$)
- **Méthode:** Changement de variable $x = \sin\theta$
- **De 0 à 1:** $\dfrac{\pi}{2}$ (une intégrale impropre convergente)

## À retenir

- L'intégrale de $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ est $\arcsin x + C$, valable pour $-1 < x < 1$.
- Pour $a > 0$, $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin\frac{x}{a} + C$. Contrairement à la formule de l'arctan, il n'y a pas de $\frac{1}{a}$ devant.
- $-\arccos x + C$ est aussi une réponse correcte, car $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$, une constante.
- S'il y a un $x$ au numérateur, comme dans $\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$, on pose plutôt $u = 1 - x^2$ et on obtient $-\sqrt{1-x^2} + C$.

L'**intégrale de $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ est $\arcsin x + C$**. C'est l'inverse de la [dérivée de arcsin x](/derivatives/arcsin-x), et elle est valable sur l'intervalle $-1 < x < 1$, où la racine carrée est réelle et non nulle.

$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \arcsin x + C$$

Pour toute constante $a > 0$ :

$$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx = \arcsin\frac{x}{a} + C$$

## Graphique de 1/√(1−x²)

```graph
title: 'y = 1/√(1−x²), avec l''aire de 0 à 1/2 hachurée'
caption: 'L''aire hachurée vaut $\arcsin\frac{1}{2} - \arcsin 0 = \frac{\pi}{6} \approx 0.524$. La courbe monte en flèche en $x = \pm 1$, mais l''aire totale de $-1$ à $1$ reste finie : $\pi$.'
x: [-1.5, 1.5]
y: [-0.5, 5]
functions:
  - expr: 1/sqrt(1-x^2)
    label: y = 1/√(1−x²)
    domain: [-0.98, 0.98]
shade:
  expr: 1/sqrt(1-x^2)
  from: 0
  to: 0.5
vertical:
  - x: -1
    label: x = −1
  - x: 1
    label: x = 1
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
```

## Comment intégrer 1/√(1−x²) pas à pas

La racine de $1 - x^2$ rappelle l'identité de Pythagore $1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta$, donc on pose $x = \sin\theta$.

1. Poser $x = \sin\theta$ avec $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$. Alors $dx = \cos\theta\,d\theta$.
2. Simplifier la racine. Sur cet intervalle $\cos\theta > 0$, donc $\sqrt{1 - \sin^2\theta} = \cos\theta$.
3. Intégrer :
$$\int \frac{\cos\theta\,d\theta}{\cos\theta} = \int 1\,d\theta = \theta + C$$
4. Revenir à $x$ : $\theta = \arcsin x$.

Pour $\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$, on pose $x = a\sin\theta$. Alors $dx = a\cos\theta\,d\theta$ et $\sqrt{a^2 - a^2\sin^2\theta} = a\cos\theta$. Les deux facteurs $a$ se simplifient, c'est pourquoi le résultat n'a pas de $\frac{1}{a}$ devant. C'est le premier cas du [changement de variable trigonométrique](/blog/trig-substitution).

## Vérification par dérivation

$$\frac{d}{dx}\arcsin\frac{x}{a} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}}}\cdot\frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$$

Cette étape utilise $a\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} = \sqrt{a^2 - x^2}$, qui est vrai car $a > 0$.

## Intégrales définies

| Intégrale | Valeur |
| --- | --- |
| $\int_0^{1/2} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\frac{\pi}{6}$ |
| $\int_0^{\sqrt{2}/2} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\frac{\pi}{4}$ |
| $\int_0^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\frac{\pi}{2}$ |
| $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\pi$ |

Les deux dernières sont des [intégrales impropres](/blog/improper-integrals), car la fonction n'est pas bornée en $x = \pm 1$. Elles convergent quand même, car l'explosion n'est que de l'ordre de $\frac{1}{\sqrt{1-x}}$.

## Exemples corrigés

**Exemple 1.** $\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{9 - x^2}} = \arcsin\frac{x}{3} + C$, avec $a = 3$.

**Exemple 2 : un coefficient devant x².** $\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{1 - 4x^2}}$. On pose $u = 2x$, $du = 2\,dx$ :

$$\frac{1}{2}\int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}} = \frac{1}{2}\arcsin(2x) + C$$

**Exemple 3 : forme canonique.** $\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{4x - x^2}}$. On écrit $4x - x^2 = 4 - (x - 2)^2$, puis on utilise $a = 2$ et $u = x - 2$ :

$$\int \frac{dx}{\sqrt{4 - (x-2)^2}} = \arcsin\frac{x-2}{2} + C$$

**Exemple 4 : une intégrale définie.** $\displaystyle\int_0^{3} \frac{dx}{\sqrt{36 - x^2}} = \arcsin\frac{3}{6} - \arcsin 0 = \frac{\pi}{6}$.

## Erreurs fréquentes

1. **Ajouter un $\frac{1}{a}$.** Il appartient à la formule de l'arctan, $\int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}$. La formule de l'arcsin n'en a pas. Comparez avec l'[intégrale de 1/(1+x²)](/integrals/1-over-1-plus-x-squared).
2. **Penser à arcsin quand il y a un $x$ au numérateur.** $\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$ est un simple [changement de variable](/rules/u-substitution-rule), de résultat $-\sqrt{1-x^2} + C$.
3. **Confondre $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ et $\sqrt{1-x^2}$.** La racine seule s'intègre en une expression plus longue ; voir l'[intégrale de √(1−x²)](/integrals/sqrt-1-minus-x-squared).
4. **Utiliser la formule hors de $\lvert x\rvert < a$.** Pour $\lvert x\rvert > a$, la racine n'est pas réelle. Des intégrales comme $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}$ donnent plutôt $\ln\lvert x + \sqrt{x^2-1}\rvert$.

Pour intégrer la fonction arcsinus elle-même, voir l'[intégrale de arcsin x](/integrals/arcsin-x). La page [arcsinus](/functions/arcsine) présente son domaine de définition et son graphique.

## Questions fréquentes

### Quelle est l'intégrale de 1/√(1−x²) ?

C'est $\arcsin x + C$, aussi noté $\sin^{-1} x + C$.

### Quelle est l'intégrale de 1/√(a²−x²) ?

C'est $\arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C$ pour $a > 0$. Par exemple, $\int \frac{dx}{\sqrt{4-x^2}} = \arcsin\frac{x}{2} + C$.

### L'intégrale de 1/√(1−x²) est-elle arcsin x ou −arccos x ?

Les deux sont correctes. Elles diffèrent de la constante $\frac{\pi}{2}$, et une primitive n'est définie qu'à une constante près. La plupart des manuels écrivent $\arcsin x$.

### Quelle est l'intégrale de x/√(1−x²) ?

C'est $-\sqrt{1-x^2} + C$. On pose $u = 1 - x^2$, $du = -2x\,dx$, et l'intégrale devient $-\frac{1}{2}\int u^{-1/2}\,du = -\sqrt{u} + C$.