# Intégrale de 1/(x² - 1) : formule, éléments simples, exemples

> L'intégrale de 1/(x² - 1) vaut ½ ln|(x - 1)/(x + 1)| + C. La décomposition en éléments simples, la formule générale 1/(x² - a²) et des exemples.

Source : https://practicecalculus.com/fr/integrales/integrale-de-1-sur-x-carre-moins-1
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C $$

## En bref

- **Primitive:** $\dfrac{1}{2}\ln\left\lvert\dfrac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C$
- **Méthode:** Décomposition en éléments simples
- **Décomposition:** $\dfrac{1}{x^2 - 1} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{1}{x + 1}\right)$
- **Forme générale:** $\int\dfrac{dx}{x^2 - a^2} = \dfrac{1}{2a}\ln\left\lvert\dfrac{x - a}{x + a}\right\rvert + C$
- **Non définie en:** $x = \pm 1$

## À retenir

- L'intégrale de $\frac{1}{x^2 - 1}$ est $\frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C$.
- On factorise le dénominateur en $(x - 1)(x + 1)$ et on décompose en éléments simples.
- Un signe moins change tout : $\int\frac{1}{x^2 + 1}\,dx = \arctan x + C$, mais $\frac{1}{x^2 - 1}$ donne des logarithmes.
- N'intégrez jamais à travers $x = 1$ ou $x = -1$, où la fonction a des asymptotes verticales.

L'**intégrale de $\dfrac{1}{x^2 - 1}$ est $\dfrac{1}{2}\ln\left\lvert\dfrac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C$**. C'est l'intégrale la plus simple qui demande une décomposition en éléments simples.

$$\int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C$$

## Graphique de 1/(x² - 1)

```graph
title: 'Graphique de y = 1/(x² - 1), avec l''aire de x = 2 à x = 3 hachurée'
caption: 'La fonction a des asymptotes verticales en $x = -1$ et $x = 1$. L''aire hachurée vaut $\frac{1}{2}\ln\frac{3}{2} \approx 0.203$.'
x: [-4, 4]
y: [-4, 4]
functions:
  - expr: 1/(x^2 - 1)
    label: y = 1/(x² - 1)
shade: {expr: 1/(x^2 - 1), from: 2, to: 3}
vertical:
  - {x: -1, label: 'x = -1'}
  - {x: 1, label: 'x = 1'}
```

Entre les asymptotes, la fonction est négative, avec un maximum de $-1$ en $x = 0$. À l'extérieur, elle est positive et décroît vers $0$.

## Décomposition en éléments simples pas à pas

1. Factoriser le dénominateur : $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.
2. Poser la décomposition : $\dfrac{1}{(x - 1)(x + 1)} = \dfrac{A}{x - 1} + \dfrac{B}{x + 1}$.
3. Chasser les dénominateurs : $1 = A(x + 1) + B(x - 1)$.
4. Avec $x = 1$ : $1 = 2A$, donc $A = \frac{1}{2}$. Avec $x = -1$ : $1 = -2B$, donc $B = -\frac{1}{2}$.
5. Intégrer chaque morceau avec l'[intégrale de 1/x](/integrals/1-over-x) :

$$\int\left(\frac{1/2}{x - 1} - \frac{1/2}{x + 1}\right)dx = \frac{1}{2}\ln\lvert x - 1\rvert - \frac{1}{2}\ln\lvert x + 1\rvert + C$$

6. Regrouper les logarithmes : $\frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C$.

Le guide sur la [décomposition en éléments simples](/blog/partial-fractions) traite aussi les facteurs répétés et les facteurs du second degré.

## Vérification par dérivation

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2}\ln\lvert x - 1\rvert - \frac{1}{2}\ln\lvert x + 1\rvert\right] = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{x^2 - 1} = \frac{1}{x^2 - 1} \checkmark$$

## La formule générale : 1/(x² - a²)

Les mêmes étapes avec $(x - a)(x + a)$ donnent $A = \frac{1}{2a}$, $B = -\frac{1}{2a}$, donc

$$\int\frac{1}{x^2 - a^2}\,dx = \frac{1}{2a}\ln\left\lvert\frac{x - a}{x + a}\right\rvert + C$$

Par exemple, $\int\frac{1}{x^2 - 9}\,dx = \frac{1}{6}\ln\left\lvert\frac{x - 3}{x + 3}\right\rvert + C$.

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : intégrale définie.** Pour la région hachurée :

$$\int_2^3\frac{dx}{x^2 - 1} = \frac{1}{2}\ln\frac{2}{4} - \frac{1}{2}\ln\frac{1}{3} = \frac{1}{2}\ln\frac{3}{2} \approx 0.203$$

**Exemple 2 : intégrale impropre.** Quand $x \to \infty$, $\frac{x - 1}{x + 1} \to 1$ et le logarithme tend vers $0$ :

$$\int_2^\infty\frac{dx}{x^2 - 1} = 0 - \frac{1}{2}\ln\frac{1}{3} = \frac{1}{2}\ln 3 \approx 0.549$$

**Exemple 3 : entre les asymptotes.** $\int_0^{1/2}\frac{dx}{x^2 - 1} = \frac{1}{2}\ln\frac{1/2}{3/2} - 0 = -\frac{1}{2}\ln 3$. Négatif, comme le prévoit le graphique.

**Exemple 4 : le signe inversé.** $\int\frac{1}{1 - x^2}\,dx = -\int\frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{1 + x}{1 - x}\right\rvert + C$.

**Exemple 5 : d'abord un changement de variable.** $\int\frac{\cos x}{\sin^2 x - 1}\,dx$ avec $u = \sin x$ devient $\int\frac{du}{u^2 - 1} = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{\sin x - 1}{\sin x + 1}\right\rvert + C$.

## Erreurs fréquentes

1. **Répondre $\arctan x$.** C'est pour $x^2 + 1$. Vérifiez le signe au dénominateur.
2. **Répondre $\ln\lvert x^2 - 1\rvert$.** Le numérateur est $1$, pas $2x$, donc le schéma $\frac{f'}{f}$ ne s'applique pas. Ce schéma donne plutôt l'[intégrale de x/(x² + 1)](/integrals/x-over-x-squared-plus-1).
3. **Se tromper de signe pour $B$.** Remplacez par des valeurs pour vérifier la décomposition.
4. **Intégrer à travers $x = \pm 1$.** Ces intégrales sont impropres et divergent.

Entraînez-vous avec les [exercices sur les éléments simples](/practice-problems/partial-fractions).

## Questions fréquentes

### Quelle est l'intégrale de 1/(x² - 1) ?

C'est $\frac{1}{2}\ln\lvert x - 1\rvert - \frac{1}{2}\ln\lvert x + 1\rvert + C$, que l'on regroupe en $\frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C$.

### Quelle est l'intégrale de 1/(1 - x²) ?

C'est l'opposé du résultat précédent : $\frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{1 + x}{1 - x}\right\rvert + C$. Pour $\lvert x\rvert < 1$, cela vaut $\operatorname{artanh} x + C$.

### Quelle est l'intégrale de 1/(x² - a²) ?

C'est $\frac{1}{2a}\ln\left\lvert\frac{x - a}{x + a}\right\rvert + C$, obtenue avec la même décomposition en éléments simples.

### Pourquoi le résultat n'est-il pas arctan ?

$\arctan x$ vient de $\frac{1}{x^2 + 1}$, dont le dénominateur ne se factorise pas sur les réels. $x^2 - 1$ se factorise, donc ce sont les éléments simples et les logarithmes qui prennent le relais.