# Intégrale de 1/x² : formule, démonstration et exemples

> L'intégrale de 1/x² vaut -1/x + C. L'écrire x^(-2), vérifier en dérivant, et des intégrales impropres comme de 1 à l'infini et le piège classique de -1 à 1.

Source : https://practicecalculus.com/fr/integrales/integrale-de-1-sur-x-carre
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \int \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{x} + C $$

## En bref

- **Primitive:** $-\dfrac{1}{x} + C$
- **D''abord réécrire:** $\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}$
- **Valable pour:** $x \ne 0$
- **Intégrale impropre:** $\int_1^\infty \dfrac{1}{x^2}\,dx = 1$
- **Vérification:** $\dfrac{d}{dx}\left(-\dfrac{1}{x}\right) = \dfrac{1}{x^2}$

## À retenir

- L'intégrale de $\frac{1}{x^2}$ est $-\frac{1}{x} + C$. C'est une puissance, pas un logarithme.
- On réécrit $x^{-2}$, on augmente l'exposant jusqu'à $-1$ et on divise par $-1$.
- L'intégrale impropre $\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx$ converge vers $1$.
- On ne peut pas intégrer $\frac{1}{x^2}$ à travers $x = 0$. $\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}\,dx$ diverge.

L'**intégrale de $\dfrac{1}{x^2}$ est $-\dfrac{1}{x} + C$**. Contrairement à $\frac{1}{x}$, celle-ci se traite avec la règle de la puissance inverse ordinaire.

$$\int \frac{1}{x^2}\,dx = \int x^{-2}\,dx = -\frac{1}{x} + C$$

## Graphique de 1/x² et de l'aire sous la courbe

```graph
title: 'Aire sous y = 1/x² de 1 à 3, avec la primitive y = -1/x'
caption: 'L''aire hachurée vaut $-\frac{1}{3} - (-1) = \frac{2}{3}$. La courbe en pointillés $y = -\frac{1}{x}$ est toujours croissante, car $\frac{1}{x^2}$ est toujours positif.'
x: [-0.5, 5]
y: [-2.5, 3]
functions:
  - expr: 1/x^2
    label: y = 1/x²
    domain: [0.58, 5]
  - expr: -1/x
    label: y = -1/x (primitive)
    dashed: true
    domain: [0.4, 5]
shade: {expr: 1/x^2, from: 1, to: 3}
points:
  - [1, 1, '(1, 1)']
  - [3, -0.333, '(3, -1/3)']
```

## Démonstration pas à pas

1. Réécrire sous forme de puissance : $\frac{1}{x^2} = x^{-2}$.
2. Appliquer la [règle de la puissance inverse](/rules/reverse-power-rule) avec $n = -2$.
3. Ajouter un à l'exposant : $-2 + 1 = -1$.
4. Diviser par $-1$ : $\frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$.
5. Ajouter $C$.

## Vérification par dérivation

$$\frac{d}{dx}\left(-x^{-1}\right) = -(-1)x^{-2} = \frac{1}{x^2} \checkmark$$

La règle dans le sens direct se trouve sur la page [dérivée de 1/x²](/derivatives/1-over-x-squared), et la page [dérivée de 1/x](/derivatives/1-over-x) montre que $\frac{d}{dx}\frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2}$, c'est-à-dire le même fait lu dans l'autre sens.

## Intégrales impropres

L'aire sous $\frac{1}{x^2}$ jusqu'à l'infini est finie :

$$\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{b\to\infty}\left[-\frac{1}{x}\right]_1^b = \lim_{b\to\infty}\left(1 - \frac{1}{b}\right) = 1$$

Comparez avec $\int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx$, qui diverge car $\ln b \to \infty$. Ce contraste est le point de départ du critère de Riemann (test des séries et intégrales en $p$). La leçon sur les [bornes d'intégration infinies](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/infinite-limits-of-integration) le traite en détail.

Près de zéro, c'est l'inverse : $\int_0^1 \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{a\to 0^+}\left(\frac{1}{a} - 1\right) = \infty$.

## Le piège classique : intégrer à travers zéro

En remplaçant dans la primitive, on obtient

$$\left[-\frac{1}{x}\right]_{-1}^{1} = -1 - 1 = -2$$

Mais $\frac{1}{x^2}$ est positive partout, donc son intégrale ne peut pas être négative. L'erreur vient de ce que $\frac{1}{x^2}$ a une asymptote verticale en $x = 0$ : le [théorème fondamental de l'analyse](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-2) ne s'applique pas sur $[-1, 1]$. On coupe l'intégrale en $0$ : chaque moitié diverge, donc l'intégrale entière diverge.

## Variante par changement de variable

Avec $u = ax + b$ :

$$\int \frac{1}{(ax + b)^2}\,dx = -\frac{1}{a(ax + b)} + C$$

Par exemple, $\int \frac{1}{(2x + 1)^2}\,dx = -\frac{1}{2(2x + 1)} + C$. Vérification : la dérivée vaut $\frac{1}{2}(2x + 1)^{-2}\cdot 2 = \frac{1}{(2x + 1)^2}$.

## Exemples corrigés

**Exemple 1.** $\int \frac{3}{x^2}\,dx = -\frac{3}{x} + C$.

**Exemple 2.** $\int \frac{x + 1}{x^2}\,dx = \int\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right)dx = \ln\lvert x\rvert - \frac{1}{x} + C$. On sépare d'abord, puis on utilise l'[intégrale de 1/x](/integrals/1-over-x) pour le premier morceau.

**Exemple 3.** $\int_2^4 \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

**Exemple 4.** $\int \frac{1}{x^3}\,dx = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$.

## Erreurs fréquentes

1. **Écrire $\ln(x^2)$.** Le logarithme n'apparaît que pour $\frac{1}{x}$.
2. **Écrire $-\frac{1}{x^3}$ ou $\frac{1}{x}$.** L'exposant augmente de un ($-2 \to -1$), et on divise par $-1$, ce qui change le signe.
3. **Intégrer à travers une asymptote.** Vérifiez toujours qu'il n'y a pas de division par zéro dans l'intervalle.
4. **Écrire $\frac{1}{3x^3}$** en traitant $\frac{1}{x^2}$ comme $(x^2)$ et en intégrant cela. Réécrivez d'abord $x^{-2}$.

Essayez les [exercices sur les intégrales impropres](/practice-problems/improper-integrals) pour travailler le cas infini.

## Questions fréquentes

### Quelle est l'intégrale de 1/x² ?

L'intégrale de $\frac{1}{x^2}$ est $-\frac{1}{x} + C$.

### Combien vaut l'intégrale de 1/x² de 1 à l'infini ?

Elle vaut $1$. La primitive $-\frac{1}{x}$ passe de $-1$ en $x = 1$ à $0$ quand $x \to \infty$, soit une variation de $1$.

### Pourquoi l'intégrale de 1/x² entre -1 et 1 ne vaut-elle pas -2 ?

Le calcul direct donne $-1 - 1 = -2$, mais c'est faux. $\frac{1}{x^2}$ tend vers l'infini en $x = 0$, donc le théorème fondamental ne s'applique pas. L'intégrale diverge en fait vers l'infini.

### L'intégrale de 1/x² est-elle égale à ln(x²) ?

Non. Le $\ln$ n'apparaît que pour $\frac{1}{x}$. Pour $\frac{1}{x^2}$, la règle de la puissance inverse fonctionne et donne $-\frac{1}{x} + C$.