# Intégrale de 1/(x ln x) : formule, méthode et exemples

> L'intégrale de 1/(x ln x) vaut ln|ln x| + C. Le changement de variable u = ln x, pourquoi l'intégrale impropre diverge, un graphique et des exemples.

Source : https://practicecalculus.com/fr/integrales/integrale-de-1-sur-x-ln-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \int \frac{1}{x\ln x}\,dx = \ln\lvert\ln x\rvert + C $$

## En bref

- **Primitive:** $\ln\lvert\ln x\rvert + C$
- **Méthode:** Changement de variable $u = \ln x$, $du = \frac{1}{x}\,dx$
- **Domaine de définition:** $x > 0$, $x \ne 1$
- **De e à e²:** $\ln 2 \approx 0.693$
- **De 2 à ∞:** Diverge

## À retenir

- L'intégrale de $\frac{1}{x\ln x}$ est $\ln\lvert\ln x\rvert + C$.
- On pose $u = \ln x$. Le $\frac{1}{x}$ de la fonction est exactement $du$, et l'intégrale devient $\int\frac{du}{u}$.
- $\int_2^\infty\frac{dx}{x\ln x}$ diverge, mais très lentement. D'après le critère de comparaison série-intégrale, $\sum\frac{1}{n\ln n}$ diverge aussi.
- Avec un carré, $\int_2^\infty\frac{dx}{x(\ln x)^2} = \frac{1}{\ln 2}$ converge.

L'**intégrale de $\dfrac{1}{x\ln x}$ est $\ln\lvert\ln x\rvert + C$**. C'est l'exemple type d'un changement de variable caché sous nos yeux : le $\frac{1}{x}$ est la dérivée du $\ln x$ placé à côté.

$$\int \frac{1}{x\ln x}\,dx = \ln\lvert\ln x\rvert + C$$

La fonction est définie pour $x > 0$ avec $x \ne 1$, car $\ln 1 = 0$ annulerait le dénominateur.

## Graphique de 1/(x ln x)

```graph
title: 'y = 1/(x ln x), avec l''aire de e à e² hachurée'
caption: 'L''aire hachurée vaut $\ln(\ln e^2) - \ln(\ln e) = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 \approx 0.693$. La courbe a une asymptote verticale en $x = 1$ et décroît très lentement vers la droite.'
x: [0, 9]
y: [-1, 5]
functions:
  - expr: 1/(x*ln(x))
    label: y = 1/(x ln x)
    domain: [1.2, 9]
shade:
  expr: 1/(x*ln(x))
  from: 2.71828
  to: 7.38906
vertical:
  - x: 1
    label: x = 1
```

## Comment intégrer 1/(x ln x) pas à pas

1. **Repérer le couple.** On écrit la fonction $\frac{1}{\ln x}\cdot\frac{1}{x}$. Le second facteur est la dérivée de $\ln x$.
2. **Changer de variable.** On pose $u = \ln x$, donc $du = \frac{1}{x}\,dx$ :
$$\int\frac{1}{\ln x}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \int\frac{1}{u}\,du$$
3. **Intégrer.** $\int\frac{du}{u} = \ln\lvert u\rvert + C$, d'après l'[intégrale de 1/x](/integrals/1-over-x).
4. **Revenir à la variable de départ.** $\ln\lvert\ln x\rvert + C$.

La valeur absolue compte sur $0 < x < 1$, où $\ln x$ est négatif. Pour $x > 1$, on peut l'enlever et écrire $\ln(\ln x)$.

C'est le [changement de variable](/rules/u-substitution-rule) en action. Dès que vous voyez $\frac{1}{x}$ multiplié par une fonction de $\ln x$, essayez $u = \ln x$.

## Vérification par dérivation

On applique deux fois la [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule) :

$$\frac{d}{dx}\ln(\ln x) = \frac{1}{\ln x}\cdot\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{\ln x}\cdot\frac{1}{x} = \frac{1}{x\ln x}$$

## Intégrales définies et impropres

**De e à e² :** $\ln(\ln e^2) - \ln(\ln e) = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2$.

**De e à e^e :** $\ln(e) - \ln(1) = 1$. Chaque intervalle de la forme $[e^{a}, e^{ea}]$ ajoute la même aire, $1$.

**De 2 à ∞ :** cette [intégrale impropre](/blog/improper-integrals) diverge.

$$\int_2^\infty\frac{dx}{x\ln x} = \lim_{b\to\infty}\Big(\ln(\ln b) - \ln(\ln 2)\Big) = \infty$$

La croissance est d'une lenteur extrême. Même en $b = 10^{100}$, $\ln(\ln b) \approx \ln 230.3 \approx 5.44$. Une calculatrice ne vous convaincrait jamais de la divergence, mais la primitive la démontre.

**Le critère de comparaison série-intégrale.** Comme cette intégrale diverge, le [critère de comparaison série-intégrale](/learn/calculus-2/sequences-and-series/integral-test-and-p-series) montre que la série $\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n\ln n}$ diverge aussi, bien que ses termes décroissent plus vite que $\frac{1}{n}$.

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : un logarithme au carré.** $\displaystyle\int_2^\infty\frac{dx}{x(\ln x)^2}$. Avec $u = \ln x$, la primitive est $-\frac{1}{\ln x}$ :

$$\lim_{b\to\infty}\left(-\frac{1}{\ln b} + \frac{1}{\ln 2}\right) = \frac{1}{\ln 2} \approx 1.443$$

Celle-ci converge. Une puissance de $\ln x$ en plus suffit.

**Exemple 2 : le logarithme au numérateur.** $\displaystyle\int\frac{\ln x}{x}\,dx = \int u\,du = \frac{(\ln x)^2}{2} + C$.

**Exemple 3 : une puissance du logarithme.** $\displaystyle\int\frac{dx}{x\sqrt{\ln x}} = \int u^{-1/2}\,du = 2\sqrt{\ln x} + C$, pour $x > 1$.

**Exemple 4 : une constante à l'intérieur.** $\displaystyle\int\frac{dx}{x\ln(5x)}$. Ici aussi $\frac{d}{dx}\ln(5x) = \frac{1}{x}$, donc le résultat est $\ln\lvert\ln(5x)\rvert + C$.

**Exemple 5 : une couche de plus.** $\displaystyle\int\frac{dx}{x\ln x\,\ln(\ln x)} = \ln\lvert\ln(\ln x)\rvert + C$, avec $u = \ln(\ln x)$.

## Erreurs fréquentes

1. **Séparer en $\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{\ln x}$ et intégrer chaque facteur.** On ne peut pas intégrer un produit facteur par facteur. $\ln x\cdot\ln\lvert\ln x\rvert$ est faux.
2. **Intégrer par parties.** C'est possible mais ne mène à rien d'utile. Le changement de variable conclut en une ligne.
3. **Écrire $\ln\lvert x\ln x\rvert$.** C'est la primitive de $\frac{\ln x + 1}{x\ln x}$, pas de $\frac{1}{x\ln x}$.
4. **Intégrer à travers $x = 1$.** La fonction y tend vers l'infini, donc $\int_{1/2}^{2}\frac{dx}{x\ln x}$ n'est pas une intégrale ordinaire.

L'[intégrale de ln x](/integrals/ln-x) et l'[intégrale de x ln x](/integrals/x-ln-x) traitent les autres intégrales logarithmiques courantes. Pour plus de détails sur ce type de changement de variable, voir le [guide du changement de variable](/blog/u-substitution) et les [exercices sur le changement de variable](/practice-problems/u-substitution).

## Questions fréquentes

### Quelle est l'intégrale de 1/(x ln x) ?

C'est $\ln\lvert\ln x\rvert + C$. Pour $x > 1$, où $\ln x > 0$, c'est simplement $\ln(\ln x) + C$.

### L'intégrale de 1/(x ln x) de 2 à l'infini converge-t-elle ?

Non. $\ln(\ln b) - \ln(\ln 2) \to \infty$ quand $b \to \infty$, donc l'intégrale diverge. Elle croît extrêmement lentement : en $b = 10^{100}$, la primitive ne vaut qu'environ $5.4$.

### Quelle est l'intégrale de ln x / x ?

C'est $\frac{(\ln x)^2}{2} + C$. Le même changement de variable $u = \ln x$ la transforme en $\int u\,du$.

### Quelle est l'intégrale de 1/(x (ln x)²) ?

C'est $-\frac{1}{\ln x} + C$. Avec $u = \ln x$, elle devient $\int u^{-2}\,du = -u^{-1} + C$.