# Intégrale de 1/x : formule, démonstration et exemples

> L'intégrale de 1/x vaut ln|x| + C. Pourquoi la règle de la puissance échoue ici, d'où vient la valeur absolue, et comment traiter 1/(ax + b) et f'/f.

Source : https://practicecalculus.com/fr/integrales/integrale-de-1-sur-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C $$

## En bref

- **Primitive:** $\ln\lvert x\rvert + C$
- **Valable pour:** $x \ne 0$
- **Forme affine:** $\int \dfrac{1}{ax + b}\,dx = \dfrac{1}{a}\ln\lvert ax + b\rvert + C$
- **Forme logarithmique:** $\int \dfrac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln\lvert f(x)\rvert + C$
- **Aire de 1 à e:** $1$

## À retenir

- L'intégrale de $\frac{1}{x}$ est $\ln\lvert x\rvert + C$, et non une puissance de $x$.
- La règle de la puissance inverse ne marche pas pour $n = -1$, car elle diviserait par zéro.
- La valeur absolue rend la formule valable aussi pour $x$ négatif.
- Plus généralement, $\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln\lvert f(x)\rvert + C$.

L'**intégrale de $\dfrac{1}{x}$ est $\ln\lvert x\rvert + C$**. C'est la seule puissance de $x$ que la règle de la puissance inverse ne sait pas traiter, et le logarithme népérien comble ce manque.

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C, \qquad x \ne 0$$

## Graphique de 1/x et de sa primitive

```graph
title: 'Aire sous y = 1/x de 1 à e, avec la primitive y = ln|x|'
caption: 'L''aire hachurée de $x = 1$ à $x = e$ vaut exactement $1$. C''est une façon de définir le nombre $e$. La courbe en pointillés $y = \ln\lvert x\rvert$ est la primitive des deux côtés de $0$.'
x: [-4, 4]
y: [-3, 3]
functions:
  - expr: 1/x
    label: y = 1/x
    domain: [0.25, 4]
  - expr: 1/x
    label: y = 1/x (x < 0)
    domain: [-4, -0.25]
  - expr: ln(abs(x))
    label: y = ln|x| (primitive)
    dashed: true
    domain: [-4, 4]
shade: {expr: 1/x, from: 1, to: 2.71828}
points:
  - [2.71828, 1, '(e, 1)']
```

À droite, $\frac{1}{x} > 0$ et $\ln x$ croît. À gauche, $\frac{1}{x} < 0$ et $\ln\lvert x\rvert$ décroît quand on se déplace vers la droite. Dans les deux cas, les pentes correspondent aux hauteurs.

## Pourquoi la règle de la puissance échoue

La [règle de la puissance inverse](/rules/reverse-power-rule) dit que $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. Pour $\frac{1}{x} = x^{-1}$, cela donnerait $\frac{x^0}{0}$, qui n'a pas de sens. Aucune puissance de $x$ n'a pour dérivée $x^{-1}$, car la dérivée de $x^0 = 1$ est $0$.

La fonction qui a bien $\frac{1}{x}$ pour dérivée est le logarithme népérien. La page [dérivée de ln x](/derivatives/ln-x) démontre que $\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$ pour $x > 0$.

## D'où vient la valeur absolue

Pour $x < 0$, $\ln x$ n'est pas défini, mais $\ln(-x)$ l'est. Dérivons-le avec la règle de dérivation en chaîne :

$$\frac{d}{dx}\ln(-x) = \frac{1}{-x}\cdot(-1) = \frac{1}{x}$$

Donc $\ln x$ convient pour $x > 0$ et $\ln(-x)$ convient pour $x < 0$. Ensemble, ils forment $\ln\lvert x\rvert$.

## Vérification par dérivation

Pour $x > 0$ : $\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$. Pour $x < 0$ : $\frac{d}{dx}\ln(-x) = \frac{1}{x}$. Les deux donnent $\frac{1}{x}$, donc $\frac{d}{dx}\ln\lvert x\rvert = \frac{1}{x}$ pour tout $x \ne 0$.

## Variantes par changement de variable

Avec $u = ax + b$ :

$$\int \frac{1}{ax + b}\,dx = \frac{1}{a}\ln\lvert ax + b\rvert + C$$

Plus généralement, dès que le numérateur est la dérivée du dénominateur, le résultat est un logarithme :

$$\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln\lvert f(x)\rvert + C$$

Ce seul schéma donne l'[intégrale de tan x](/integrals/tan-x), l'[intégrale de cotan x](/integrals/cot-x) et l'[intégrale de x/(x² + 1)](/integrals/x-over-x-squared-plus-1).

## Exemples corrigés

**Exemple 1.** $\int \frac{5}{x}\,dx = 5\ln\lvert x\rvert + C$.

**Exemple 2.** $\int \frac{1}{3x - 2}\,dx = \frac{1}{3}\ln\lvert 3x - 2\rvert + C$.

**Exemple 3.** $\int \frac{2x + 3}{x^2 + 3x}\,dx = \ln\lvert x^2 + 3x\rvert + C$, car le numérateur est la dérivée du dénominateur.

**Exemple 4 : intégrale définie, côté positif.** $\int_1^2 \frac{1}{x}\,dx = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 \approx 0.693$.

**Exemple 5 : intégrale définie, côté négatif.** $\int_{-3}^{-1} \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert -1\rvert - \ln\lvert -3\rvert = -\ln 3$. Le résultat est négatif car la courbe est sous l'axe sur cet intervalle.

## Erreurs fréquentes

1. **Utiliser la règle de la puissance.** $\frac{x^0}{0}$ n'a pas de sens. Utilisez $\ln\lvert x\rvert$.
2. **Oublier la valeur absolue** quand $x$ peut être négatif.
3. **Intégrer à travers $0$.** $\int_{-1}^{1}\frac{1}{x}\,dx$ ne vaut pas $\ln 1 - \ln 1 = 0$. L'intégrale diverge.
4. **Confondre avec $\frac{1}{x^2}$.** $\int \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{x} + C$, sans logarithme. Voir l'[intégrale de 1/x²](/integrals/1-over-x-squared).
5. **Oublier le $\frac{1}{a}$** dans $\int \frac{1}{ax + b}\,dx$.

Pour une intégrale liée au logarithme dans l'autre sens, voir l'[intégrale de ln x](/integrals/ln-x).

## Questions fréquentes

### Quelle est l'intégrale de 1/x ?

L'intégrale de $\frac{1}{x}$ est $\ln\lvert x\rvert + C$. Pour $x > 0$, on peut enlever les barres et écrire $\ln x + C$.

### Pourquoi y a-t-il une valeur absolue dans ln|x| ?

$\ln x$ n'existe que pour $x > 0$, alors que $\frac{1}{x}$ existe aussi pour $x < 0$. Pour $x$ négatif, la dérivée de $\ln(-x)$ est $\frac{-1}{-x} = \frac{1}{x}$, donc $\ln\lvert x\rvert$ couvre les deux côtés.

### Quelle est l'intégrale de 1/(2x) ?

C'est $\frac{1}{2}\ln\lvert x\rvert + C$. Écrire $\frac{1}{2}\ln\lvert 2x\rvert + C$ est aussi correct, car cela ne diffère que de la constante $\frac{1}{2}\ln 2$.

### Combien vaut l'intégrale de 1/x entre -1 et 1 ?

Elle n'existe pas. $\frac{1}{x}$ a une discontinuité infinie en $0$, et les deux moitiés de l'intégrale impropre divergent.