# Intégrale de 2ˣ et de aˣ : formule, méthode et exemples

> L'intégrale de 2ˣ vaut 2ˣ/ln 2 + C, et ∫aˣ dx = aˣ/ln a + C. La démonstration à partir de e^(x ln a), un graphique, des intégrales définies et des exemples.

Source : https://practicecalculus.com/fr/integrales/integrale-de-2-puissance-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \int 2^x\,dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C $$

## En bref

- **Primitive:** $\dfrac{2^x}{\ln 2} + C$
- **Base quelconque:** $\int a^x\,dx = \dfrac{a^x}{\ln a} + C$ pour $a > 0$, $a \ne 1$
- **Méthode:** Écrire $a^x = e^{x\ln a}$, puis diviser par $\ln a$
- **De 0 à 1:** $\frac{1}{\ln 2} \approx 1.443$
- **Valeur de ln 2:** $\approx 0.6931$

## À retenir

- L'intégrale de $2^x$ est $\frac{2^x}{\ln 2} + C$.
- Pour toute base $a > 0$, $a \ne 1$ : $\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$.
- La formule vient de l'écriture $a^x = e^{x\ln a}$ et de $\int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx}$ avec $k = \ln a$.
- Quand $a = e$, $\ln e = 1$ et la formule devient $\int e^x\,dx = e^x + C$.

L'**intégrale de $2^x$ est $\dfrac{2^x}{\ln 2} + C$**. Toute exponentielle $a^x$ s'intègre de la même façon : on garde l'exponentielle et on divise par le logarithme népérien de la base.

$$\int 2^x\,dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C \qquad\qquad \int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$$

La formule générale est valable pour toute base $a > 0$ avec $a \ne 1$.

## Graphique de 2ˣ avec l'aire de 0 à 1

```graph
title: 'y = 2ˣ, avec l''aire de 0 à 1 hachurée'
caption: 'L''aire hachurée vaut $\frac{2 - 1}{\ln 2} = \frac{1}{\ln 2} \approx 1.443$. La courbe en pointillés est la primitive $\frac{2^x}{\ln 2}$, environ $1.44$ fois plus haute que $2^x$ partout.'
x: [-3, 3]
y: [-0.5, 9]
functions:
  - expr: 2^x
    label: y = 2ˣ
  - expr: 2^x/ln(2)
    label: y = 2ˣ/ln 2 (primitive)
    dashed: true
shade:
  expr: 2^x
  from: 0
  to: 1
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
  - [1, 2, '(1, 2)']
```

## Comment intégrer 2ˣ pas à pas

L'astuce consiste à passer en base $e$, puisque l'on sait déjà intégrer les exponentielles de base $e$.

1. **Réécrire en base $e$.** Comme $2 = e^{\ln 2}$, on a $2^x = \left(e^{\ln 2}\right)^x = e^{x\ln 2}$.
2. **Intégrer.** $\ln 2$ est une simple constante, environ $0.693$. Avec $\int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$, vu sur la page [intégrale de e²ˣ](/integrals/e-to-the-2x) :
$$\int e^{x\ln 2}\,dx = \frac{1}{\ln 2}e^{x\ln 2} + C$$
3. **Revenir en base 2.** $e^{x\ln 2} = 2^x$, donc le résultat est $\frac{2^x}{\ln 2} + C$.

En remplaçant $2$ par $a$ partout, on obtient la formule générale. La base doit être positive pour que $\ln a$ soit défini, et $a \ne 1$ pour que $\ln a \ne 0$. (Pour $a = 1$, $1^x = 1$ et $\int 1\,dx = x + C$.)

## Vérification par dérivation

La [dérivée de 2ˣ](/derivatives/2-to-the-x) est $2^x\ln 2$. Donc

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{2^x}{\ln 2}\right) = \frac{2^x\ln 2}{\ln 2} = 2^x$$

## Intégrales définies

| Intégrale | Calcul | Valeur |
| --- | --- | --- |
| $\int_0^1 2^x\,dx$ | $\frac{2 - 1}{\ln 2}$ | $\approx 1.443$ |
| $\int_0^3 2^x\,dx$ | $\frac{8 - 1}{\ln 2}$ | $\approx 10.099$ |
| $\int_0^2 3^x\,dx$ | $\frac{9 - 1}{\ln 3}$ | $\approx 7.282$ |
| $\int_{-\infty}^{0} 2^x\,dx$ | $\frac{1 - 0}{\ln 2}$ | $\approx 1.443$ |

Comparez la deuxième ligne avec une somme : $2^0 + 2^1 + 2^2 = 7$. L'intégrale $\frac{7}{\ln 2}$ est plus grande, car l'aire inclut la montée de la courbe entre les entiers. Ce contraste entre sommes et intégrales réapparaît dans le [critère de comparaison série-intégrale](/learn/calculus-2/sequences-and-series/integral-test-and-p-series).

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : base 10.** $\displaystyle\int 10^x\,dx = \frac{10^x}{\ln 10} + C \approx 0.434\cdot 10^x + C$.

**Exemple 2 : un exposant affine.** $\displaystyle\int 2^{3x}\,dx$. On pose $u = 3x$, $du = 3\,dx$ :

$$\frac{1}{3}\int 2^u\,du = \frac{2^{3x}}{3\ln 2} + C$$

On peut aussi écrire $2^{3x} = 8^x$ et obtenir $\frac{8^x}{\ln 8}$. Comme $\ln 8 = 3\ln 2$, les résultats coïncident.

**Exemple 3 : une fraction comme base.** $\displaystyle\int\left(\frac{1}{2}\right)^x dx = \frac{(1/2)^x}{\ln(1/2)} + C = -\frac{2^{-x}}{\ln 2} + C$.

**Exemple 4 : regrouper les bases.** $\displaystyle\int 2^x 3^x\,dx = \int 6^x\,dx = \frac{6^x}{\ln 6} + C$.

**Exemple 5 : un changement de variable.** $\displaystyle\int x\,2^{x^2}\,dx$. Avec $u = x^2$, $du = 2x\,dx$ :

$$\frac{1}{2}\int 2^u\,du = \frac{2^{x^2}}{2\ln 2} + C$$

## Erreurs fréquentes

1. **Utiliser la règle de la puissance.** $\int 2^x\,dx \ne \frac{2^{x+1}}{x+1}$. Comparez avec $\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}$, où la variable est la base ; voir l'[intégrale de x²](/integrals/x-squared).
2. **Multiplier par $\ln 2$ au lieu de diviser.** Multiplier, c'est ce que fait la dérivation. L'intégration divise.
3. **Utiliser $\log_{10}$.** La formule demande le logarithme népérien. $\int 10^x\,dx = \frac{10^x}{\ln 10}$, et non $\frac{10^x}{\log 10} = \frac{10^x}{1}$.
4. **L'appliquer à $x^x$.** Quand la variable est à la fois dans la base et dans l'exposant, aucune des deux règles ne s'applique, et $\int x^x\,dx$ n'a pas de primitive élémentaire.

Voir la page [fonctions exponentielles](/functions/exponential-functions) pour en savoir plus sur les bases, et l'[intégrale de eˣ](/integrals/e-to-the-x) pour le cas particulier $a = e$.

## Questions fréquentes

### Quelle est l'intégrale de 2ˣ ?

C'est $\frac{2^x}{\ln 2} + C$, soit environ $1.443\cdot 2^x + C$.

### Quelle est l'intégrale de aˣ ?

C'est $\frac{a^x}{\ln a} + C$ pour toute base constante $a > 0$ avec $a \ne 1$. Par exemple, $\int 10^x\,dx = \frac{10^x}{\ln 10} + C$.

### L'intégrale de 2ˣ est-elle égale à 2^(x+1)/(x+1) ?

Non. C'est la règle de la puissance, qui ne s'applique que lorsque la variable est la base, comme dans $x^2$. Dans $2^x$, la variable est l'exposant.

### Quelle est l'intégrale de 2^(−x) ?

C'est $-\frac{2^{-x}}{\ln 2} + C$. On écrit $2^{-x} = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ et on applique la formule avec $a = \frac{1}{2}$, où $\ln\frac{1}{2} = -\ln 2$.