# Intégrale de arcsin x : formule, méthode et exemples

> L'intégrale de arcsin x vaut x arcsin x + √(1−x²) + C. L'intégration par parties pas à pas, la version arccos, un graphique et des exemples corrigés.

Source : https://practicecalculus.com/fr/integrales/integrale-de-arcsin-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \int \arcsin x\,dx = x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C $$

## En bref

- **Primitive:** $x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$
- **Domaine de définition:** $-1 \le x \le 1$
- **Méthode:** Intégration par parties avec $u = \arcsin x$, $dv = dx$
- **Version arccos:** $\int \arccos x\,dx = x\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C$
- **De 0 à 1:** $\frac{\pi}{2} - 1 \approx 0.571$

## À retenir

- L'intégrale de $\arcsin x$ est $x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$.
- On intègre par parties avec $u = \arcsin x$ et $dv = dx$, puis on fait un changement de variable en $u$ pour $\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$.
- L'intégrale de $\arccos x$ a la même forme avec un signe moins : $x\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C$.
- La valeur $\int_0^1 \arcsin x\,dx = \frac{\pi}{2} - 1$ peut aussi se trouver sur le graphique en soustrayant des aires.

L'**intégrale de $\arcsin x$ est $x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$**. Comme $\ln x$ et $\arctan x$, elle n'a pas de règle inverse directe : on l'intègre par parties avec un facteur 1.

$$\int \arcsin x\,dx = x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$$

## Graphique de arcsin x avec l'aire de 0 à 1

```graph
title: 'y = arcsin x, avec l''aire de 0 à 1 hachurée'
caption: 'L''aire hachurée vaut $\frac{\pi}{2} - 1 \approx 0.571$. C''est le rectangle de $1 \times \frac{\pi}{2}$ moins l''aire entre la courbe et l''axe des $y$, qui vaut $\int_0^{\pi/2}\sin y\,dy = 1$.'
x: [-1.5, 1.5]
y: [-2, 2]
functions:
  - expr: arcsin(x)
    label: y = arcsin x
    domain: [-1, 1]
shade:
  expr: arcsin(x)
  from: 0
  to: 1
points:
  - [1, 1.5708, '(1, π/2)']
  - [-1, -1.5708, '(−1, −π/2)']
```

## Comment intégrer arcsin x pas à pas

On utilise l'[intégration par parties](/rules/integration-by-parts-rule), $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.

1. **Choisir les facteurs.** $u = \arcsin x$ et $dv = dx$, donc $du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$ et $v = x$.
2. **Appliquer la formule.**
$$\int \arcsin x\,dx = x\arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$$
3. **Calculer l'intégrale restante** avec $w = 1 - x^2$, $dw = -2x\,dx$ :
$$\int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = -\frac{1}{2}\int w^{-1/2}\,dw = -\sqrt{w} + C = -\sqrt{1-x^2} + C$$
4. **Regrouper.** Soustraire un terme négatif donne un plus :
$$\int \arcsin x\,dx = x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$$

## Vérification par dérivation

$$\frac{d}{dx}\left(x\arcsin x + \sqrt{1-x^2}\right) = \arcsin x + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x$$

Les deux fractions se compensent, il ne reste que $\arcsin x$. On utilise ici la [dérivée de arcsin x](/derivatives/arcsin-x), $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

## Intégrales définies

**De 0 à 1 :**

$$\int_0^1\arcsin x\,dx = \left(1\cdot\frac{\pi}{2} + 0\right) - (0 + 1) = \frac{\pi}{2} - 1 \approx 0.571$$

Le graphique donne le même résultat sans primitive. La région sous $y = \arcsin x$ et la région à sa gauche (entre la courbe et l'axe des $y$) remplissent un rectangle d'aire $\frac{\pi}{2}$. La région de gauche est l'aire sous $x = \sin y$ pour $0 \le y \le \frac{\pi}{2}$, qui vaut $1$.

**De 0 à 1/2 :**

$$\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{6} + \sqrt{\frac{3}{4}} - 1 = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \approx 0.128$$

**De −1 à 1 :** $\arcsin x$ est impaire, donc l'intégrale vaut $0$.

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : arccos x.** Même mise en place par parties, mais $du = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$ :

$$\int\arccos x\,dx = x\arccos x + \int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = x\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C$$

Pour vérifier, l'addition des résultats pour arcsin et arccos donne $x\left(\arcsin x + \arccos x\right) = \frac{\pi}{2}x$, qui est bien l'intégrale de la constante $\frac{\pi}{2}$.

**Exemple 2 : une variable divisée.** $\int\arcsin\frac{x}{2}\,dx$. On pose $u = \frac{x}{2}$, $dx = 2\,du$ :

$$2\left(u\arcsin u + \sqrt{1-u^2}\right) + C = x\arcsin\frac{x}{2} + \sqrt{4 - x^2} + C$$

Ici $2\sqrt{1 - \frac{x^2}{4}} = \sqrt{4 - x^2}$.

**Exemple 3 : d'abord un changement de variable.** $\int \frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$ ne se traite pas par parties. Avec $u = \arcsin x$, $du = \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$, le résultat est $\frac{1}{2}(\arcsin x)^2 + C$.

## Erreurs fréquentes

1. **Une erreur de signe dans l'intégrale restante.** $\int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$ vaut $-\sqrt{1-x^2}$, donc le résultat final contient $+\sqrt{1-x^2}$. Une dérivation le révèle immédiatement.
2. **Lire $\sin^{-1}x$ comme $\frac{1}{\sin x}$.** L'inverse de sinus est $\csc x$, une autre fonction ; voir l'[intégrale de csc x](/integrals/csc-x).
3. **Intégrer par parties alors qu'un changement de variable suffit.** Si $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ accompagne déjà $\arcsin x$, faites un changement de variable.
4. **Ignorer le domaine de définition.** $\arcsin x$ n'existe que pour $-1 \le x \le 1$, donc une intégrale définie doit rester dans cet intervalle.

Pour obtenir arcsin comme résultat, voir l'[intégrale de 1/√(1−x²)](/integrals/1-over-sqrt-1-minus-x-squared). La page [arcsinus](/functions/arcsine) en dit plus sur la fonction elle-même, et l'[intégrale de arctan x](/integrals/arctan-x) utilise la même méthode.

## Questions fréquentes

### Quelle est l'intégrale de arcsin x ?

C'est $x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$, pour $-1 \le x \le 1$.

### Quelle est l'intégrale de sin⁻¹ x ?

$\sin^{-1}x$ est une autre notation de $\arcsin x$, donc l'intégrale vaut $x\sin^{-1}x + \sqrt{1-x^2} + C$. Ce n'est pas $\int \csc x\,dx$.

### Quelle est l'intégrale de arccos x ?

C'est $x\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C$. Les étapes sont les mêmes que pour arcsin, mais $\frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ change le signe du terme avec la racine.

### Quelle est l'intégrale de arcsin(x/2) ?

C'est $x\arcsin\frac{x}{2} + \sqrt{4-x^2} + C$. On pose $u = \frac{x}{2}$, $dx = 2\,du$, et on utilise la formule de base.