# Intégrale de arctan x : formule, méthode et exemples

> L'intégrale de arctan x vaut x arctan x − ½ ln(1+x²) + C. L'intégration par parties pas à pas, la vérification, des intégrales définies et des exemples.

Source : https://practicecalculus.com/fr/integrales/integrale-de-arctan-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \int \arctan x\,dx = x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C $$

## En bref

- **Primitive:** $x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$
- **Méthode:** Intégration par parties avec $u = \arctan x$, $dv = dx$
- **De 0 à 1:** $\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln 2 \approx 0.439$
- **Intégrale associée:** $\int \frac{dx}{1+x^2} = \arctan x + C$

## À retenir

- L'intégrale de $\arctan x$ est $x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$.
- On intègre par parties avec $u = \arctan x$ et $dv = dx$. L'intégrale restante $\int\frac{x}{1+x^2}\,dx$ est un simple changement de variable logarithmique.
- Pas de valeur absolue dans $\ln(1+x^2)$, car $1 + x^2$ est toujours positif.
- La même astuce, par parties avec $dv = dx$, fonctionne pour $\ln x$, $\arcsin x$ et $\arccos x$.

L'**intégrale de $\arctan x$ est $x\arctan x - \dfrac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$**. Aucune règle de base ne défait directement l'arctangente, donc la méthode habituelle est une intégration par parties avec un facteur 1 « caché ».

$$\int \arctan x\,dx = x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$$

## Graphique de arctan x et de sa primitive

```graph
title: 'y = arctan x et sa primitive'
caption: 'L''aire hachurée de $0$ à $1$ vaut $\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln 2 \approx 0.439$. La primitive en pointillés a un minimum en $x = 0$, où $\arctan x$ change de signe.'
x: [-4, 4]
y: [-2, 3.5]
functions:
  - expr: arctan(x)
    label: y = arctan x
  - expr: x*arctan(x) - 0.5*ln(1+x^2)
    label: y = x arctan x − ½ ln(1+x²)
    dashed: true
shade:
  expr: arctan(x)
  from: 0
  to: 1
points:
  - [0, 0, '(0, 0)']
```

## Comment intégrer arctan x pas à pas

L'astuce consiste à écrire $\arctan x$ comme $\arctan x \cdot 1$ et à utiliser l'[intégration par parties](/rules/integration-by-parts-rule), $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.

1. **Choisir les facteurs.** $u = \arctan x$ et $dv = dx$. Alors $du = \frac{1}{1+x^2}\,dx$ et $v = x$.
2. **Appliquer la formule.**
$$\int \arctan x\,dx = x\arctan x - \int \frac{x}{1+x^2}\,dx$$
3. **Terminer l'intégrale restante** avec $w = 1 + x^2$, $dw = 2x\,dx$ :
$$\int \frac{x}{1+x^2}\,dx = \frac{1}{2}\int\frac{dw}{w} = \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$$
4. **Regrouper.**
$$\int \arctan x\,dx = x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$$

Pourquoi choisir $u = \arctan x$ ? Sa dérivée $\frac{1}{1+x^2}$ est algébrique et bien plus facile à manipuler. Dans l'ordre LIATE, les fonctions trigonométriques réciproques viennent en tête, ce sont donc de bons choix pour $u$.

## Vérification par dérivation

$$\frac{d}{dx}\left(x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2)\right) = \arctan x + \frac{x}{1+x^2} - \frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{1+x^2} = \arctan x$$

Les deux fractions se compensent exactement, il reste $\arctan x$.

## Intégrales définies

**De 0 à 1 :**

$$\int_0^1 \arctan x\,dx = \left(1\cdot\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln 2\right) - (0 - 0) = \frac{\pi}{4} - \frac{\ln 2}{2} \approx 0.439$$

**De −1 à 1 :** $\arctan x$ est une fonction impaire, donc $\int_{-1}^{1}\arctan x\,dx = 0$. L'aire au-dessus de l'axe à droite compense l'aire en dessous à gauche.

**De 0 à √3 :** $\sqrt{3}\cdot\frac{\pi}{3} - \frac{1}{2}\ln 4 = \frac{\pi\sqrt{3}}{3} - \ln 2 \approx 1.121$.

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : une variable multipliée.** $\int \arctan(2x)\,dx$. On pose $u = 2x$, donc $dx = \frac{du}{2}$ :

$$\frac{1}{2}\left(u\arctan u - \frac{1}{2}\ln(1+u^2)\right) + C = x\arctan(2x) - \frac{1}{4}\ln(1+4x^2) + C$$

Vérification : la dérivée vaut $\arctan 2x + \frac{2x}{1+4x^2} - \frac{1}{4}\cdot\frac{8x}{1+4x^2} = \arctan 2x$.

**Exemple 2 : x fois arctan x.** On prend $u = \arctan x$ et $dv = x\,dx$, donc $v = \frac{x^2}{2}$ :

$$\int x\arctan x\,dx = \frac{x^2}{2}\arctan x - \frac{1}{2}\int\frac{x^2}{1+x^2}\,dx$$

On écrit $\frac{x^2}{1+x^2} = 1 - \frac{1}{1+x^2}$, qui s'intègre en $x - \arctan x$. Donc

$$\int x\arctan x\,dx = \frac{1}{2}(x^2 + 1)\arctan x - \frac{x}{2} + C$$

**Exemple 3 : arctan de la racine carrée.** Pour $\int\arctan\sqrt{x}\,dx$, on pose d'abord $x = t^2$, puis on intègre par parties. Le résultat est $(x+1)\arctan\sqrt{x} - \sqrt{x} + C$, ce que l'on peut confirmer en dérivant.

## Erreurs fréquentes

1. **Répondre $\frac{1}{1+x^2}$.** C'est la dérivée de $\arctan x$, pas son intégrale. Voir la [dérivée de arctan x](/derivatives/arctan-x).
2. **Confondre arctan et l'inverse de tan.** $\tan^{-1}x$ est la fonction réciproque. $\frac{1}{\tan x} = \cot x$ est une autre fonction ; voir l'[intégrale de cotan x](/integrals/cot-x).
3. **Perdre le facteur $\frac{1}{2}$.** Dans $\int\frac{x}{1+x^2}\,dx$, le changement de variable donne $\frac{1}{2}\ln(1+x^2)$, et non $\ln(1+x^2)$.
4. **Inverser les rôles.** Choisir $u = 1$ et $dv = \arctan x\,dx$ demande justement l'intégrale que l'on cherche. Dérivez toujours la fonction trigonométrique réciproque.

Pour obtenir arctan comme résultat plutôt que de l'intégrer, voir l'[intégrale de 1/(1+x²)](/integrals/1-over-1-plus-x-squared). La même astuce par parties est présentée sur la page [intégrale de ln x](/integrals/ln-x), et le [guide de l'intégration par parties](/blog/integration-by-parts) propose davantage d'entraînement.

## Questions fréquentes

### Quelle est l'intégrale de arctan x ?

C'est $x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$.

### Quelle est l'intégrale de tan⁻¹ x ?

$\tan^{-1} x$ désigne $\arctan x$, donc l'intégrale est la même : $x\tan^{-1} x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$. Ce n'est pas $\int\frac{1}{\tan x}\,dx$, qui vaut $\ln\lvert\sin x\rvert + C$.

### Quelle est l'intégrale de arctan(2x) ?

C'est $x\arctan(2x) - \frac{1}{4}\ln(1+4x^2) + C$. On pose $u = 2x$ et on utilise la formule de base, ou on intègre directement par parties.

### Quelle est l'intégrale de x arctan x ?

C'est $\frac{1}{2}(x^2+1)\arctan x - \frac{x}{2} + C$, par parties avec $u = \arctan x$ et $dv = x\,dx$.