# Intégrale de cos² x : formule, démonstration et exemples

> L'intégrale de cos² x vaut x/2 + sin(2x)/4 + C. La linéarisation, la vérification, cos²(ax) et le calcul de l'aire d'un disque.

Source : https://practicecalculus.com/fr/integrales/integrale-de-cos-carre-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \int \cos^2 x\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C $$

## En bref

- **Primitive:** $\dfrac{x}{2} + \dfrac{\sin 2x}{4} + C$
- **Identité utilisée:** $\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}$
- **Forme équivalente:** $\dfrac{x + \sin x\cos x}{2} + C$
- **De 0 à 2π:** $\pi$
- **Vérification avec sin²:** $\int(\sin^2 x + \cos^2 x)\,dx = x + C$

## À retenir

- L'intégrale de $\cos^2 x$ est $\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$.
- On réécrit avec $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ avant d'intégrer.
- En l'ajoutant à l'intégrale de $\sin^2 x$, on obtient $x + C$ : un moyen rapide de vérifier les signes.
- Cette intégrale apparaît dès qu'un changement de variable trigonométrique rencontre $\sqrt{1 - x^2}$, comme pour l'aire d'un disque.

L'**intégrale de $\cos^2 x$ est $\dfrac{x}{2} + \dfrac{\sin 2x}{4} + C$**. Comme pour $\sin^2 x$, il faut linéariser avant d'intégrer.

$$\int \cos^2 x\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$$

## Graphique de cos² x et de sa primitive

```graph
title: 'Aire sous y = cos² x de -π/2 à π/2, avec la primitive y = x/2 + sin(2x)/4'
caption: 'L''aire hachurée vaut $\frac{\pi}{2} \approx 1.571$. La primitive en pointillés croît le plus vite en $x = 0$, où $\cos^2 x = 1$, et s''aplatit là où $\cos^2 x = 0$.'
x: [-3.5, 3.5]
y: [-2, 2]
functions:
  - expr: cos(x)^2
    label: y = cos² x
  - expr: x/2 + sin(2x)/4
    label: y = x/2 + sin(2x)/4 (primitive)
    dashed: true
shade: {expr: cos(x)^2, from: -1.5708, to: 1.5708}
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
```

## Démonstration pas à pas

1. Partir de $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$.
2. Isoler $\cos^2 x$ : $\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}$.
3. Remplacer : $\displaystyle\int\cos^2 x\,dx = \frac{1}{2}\int(1 + \cos 2x)\,dx$.
4. Intégrer : $\frac{1}{2}\left(x + \frac{\sin 2x}{2}\right) + C$.
5. Simplifier : $\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$.

L'étape 4 utilise l'[intégrale de cos x](/integrals/cos-x), avec un facteur $\frac{1}{2}$ dû au $2x$ intérieur.

## Vérification par dérivation

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4}\right) = \frac{1}{2} + \frac{\cos 2x}{2} = \cos^2 x \checkmark$$

Deuxième vérification : ajoutez ce résultat à l'[intégrale de sin² x](/integrals/sin-squared-x) :

$$\left(\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4}\right) + \left(\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4}\right) = x$$

Cela correspond à $\int(\sin^2 x + \cos^2 x)\,dx = \int 1\,dx = x$. Le sens direct se trouve sur la page [dérivée de cos² x](/derivatives/cos-squared-x).

## Intégrales définies

$$\int_0^{\pi/2}\cos^2 x\,dx = \frac{\pi}{4}, \qquad \int_0^{\pi}\cos^2 x\,dx = \frac{\pi}{2}, \qquad \int_0^{2\pi}\cos^2 x\,dx = \pi$$

$$\int_0^{\pi/6}\cos^2 x\,dx = \frac{\pi}{12} + \frac{\sin(\pi/3)}{4} = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{8} \approx 0.478$$

## Variantes par changement de variable

$$\int\cos^2(ax)\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin(2ax)}{4a} + C$$

**Exemple 1.** $\int\cos^2(5x)\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 10x}{20} + C$.

**Exemple 2.** $\int\cos^2\frac{x}{2}\,dx = \int\frac{1 + \cos x}{2}\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin x}{2} + C$.

**Exemple 3 : avec un facteur sin x.** $\int\cos^2 x\sin x\,dx = -\frac{\cos^3 x}{3} + C$, en posant $u = \cos x$. Aucune identité n'est nécessaire.

## Où on la rencontre : l'aire d'un disque

L'aire d'un disque de rayon $1$ vaut $4\int_0^1\sqrt{1 - x^2}\,dx$. On pose $x = \sin\theta$, $dx = \cos\theta\,d\theta$ :

$$4\int_0^{\pi/2}\cos\theta\cdot\cos\theta\,d\theta = 4\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta = 4\cdot\frac{\pi}{4} = \pi$$

Les mêmes étapes donnent l'[intégrale de √(1 - x²)](/integrals/sqrt-1-minus-x-squared). Voir le [changement de variable trigonométrique](/blog/trig-substitution) pour la méthode.

## Exemple corrigé : cos² x sin² x

On utilise $\sin x\cos x = \frac{\sin 2x}{2}$, donc $\sin^2 x\cos^2 x = \frac{\sin^2 2x}{4} = \frac{1 - \cos 4x}{8}$. Alors

$$\int\sin^2 x\cos^2 x\,dx = \frac{x}{8} - \frac{\sin 4x}{32} + C$$

## Erreurs fréquentes

1. **Répondre $\sin^2 x$.** Sa dérivée est $2\sin x\cos x$.
2. **Répondre $\frac{\cos^3 x}{3}$.** Il faudrait un facteur $-\sin x$.
3. **Utiliser $1 - \cos 2x$.** Cette identité est pour $\sin^2 x$. Test rapide : en $x = 0$, $\cos^2 x = 1$, et $\frac{1 + \cos 0}{2} = 1$.
4. **Écrire $\frac{\sin 2x}{2}$ au lieu de $\frac{\sin 2x}{4}$.** Pensez aux deux divisions par deux : l'une vient de l'identité, l'autre du $2x$ intérieur.

Entraînez-vous avec les [exercices sur les intégrales trigonométriques](/practice-problems/trig-integrals).

## Questions fréquentes

### Quelle est l'intégrale de cos² x ?

C'est $\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$, ou de façon équivalente $\frac{1}{2}(x + \sin x\cos x) + C$.

### Combien vaut l'intégrale de cos² x entre 0 et 2π ?

Elle vaut $\pi$. Le terme en $\sin 2x$ vaut $0$ aux deux bornes, il reste $\frac{2\pi}{2}$.

### Quelle est l'intégrale de cos²(x/2) ?

Comme $\cos^2\frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$, l'intégrale vaut $\frac{x}{2} + \frac{\sin x}{2} + C$.

### Quelle est l'intégrale de cos² x sin x ?

On pose $u = \cos x$, $du = -\sin x\,dx$. Le résultat est $-\frac{\cos^3 x}{3} + C$.