# Intégrale de cos x : formule, démonstration et exemples

> L'intégrale de cos x vaut sin x + C. Pourquoi il n'y a pas de signe moins, l'aire d'une bosse, cos(ax + b) par changement de variable et des exemples.

Source : https://practicecalculus.com/fr/integrales/integrale-de-cos-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \int \cos x\,dx = \sin x + C $$

## En bref

- **Primitive:** $\sin x + C$
- **Aire d''une bosse:** $\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos x\,dx = 2$
- **Période complète:** $\int_0^{2\pi}\cos x\,dx = 0$
- **Forme affine:** $\int\cos(ax + b)\,dx = \dfrac{1}{a}\sin(ax + b) + C$
- **Vérification:** $\dfrac{d}{dx}\sin x = \cos x$

## À retenir

- L'intégrale de $\cos x$ est $\sin x + C$, sans signe moins.
- La bosse de $\cos x$ de $-\frac{\pi}{2}$ à $\frac{\pi}{2}$ a une aire de $2$.
- Pour $\cos(ax + b)$, on divise par $a$ : $\int\cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}\sin(2x) + C$.
- Le signe moins appartient à l'autre couple : $\int\sin x\,dx = -\cos x + C$.

L'**intégrale de $\cos x$ est $\sin x + C$**. Comme la dérivée de $\sin x$ est exactement $\cos x$, c'est l'une des intégrales les plus simples qui soient.

$$\int \cos x\,dx = \sin x + C$$

## Graphique de cos x et de sa primitive

```graph
title: 'Aire sous y = cos x de -π/2 à π/2, avec la primitive y = sin x'
caption: 'La bosse hachurée a une aire de $\sin\frac{\pi}{2} - \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 2$. La courbe en pointillés $y = \sin x$ monte de $-1$ à $1$ sur le même intervalle.'
x: [-3.5, 5]
y: [-1.6, 1.6]
functions:
  - expr: cos(x)
    label: y = cos x
  - expr: sin(x)
    label: y = sin x (primitive)
    dashed: true
shade: {expr: cos(x), from: -1.5708, to: 1.5708}
points:
  - [1.5708, 1, '(π/2, 1)']
```

La primitive $\sin x$ atteint son maximum en $x = \frac{\pi}{2}$, exactement là où $\cos x$ s'annule en passant du positif au négatif.

## Démonstration pas à pas

1. Se demander : quelle fonction a pour dérivée $\cos x$ ?
2. La [dérivée de sin x](/derivatives/sin-x) est $\cos x$.
3. Donc $\sin x$ est une primitive de $\cos x$.
4. On ajoute $C$ pour obtenir toutes les primitives : $\sin x + C$.

Aucune correction de signe n'est nécessaire ici, contrairement à l'[intégrale de sin x](/integrals/sin-x).

## Vérification par dérivation

$$\frac{d}{dx}(\sin x + C) = \cos x \checkmark$$

## Intégrales définies

| Intégrale | Valeur |
| --- | --- |
| $\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx$ | $\sin\frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1$ |
| $\int_0^{\pi/6}\cos x\,dx$ | $\frac{1}{2}$ |
| $\int_0^{\pi}\cos x\,dx$ | $0$ |
| $\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos x\,dx$ | $2$ |

Comme $\cos x$ est paire, $\int_{-a}^{a}\cos x\,dx = 2\int_0^a\cos x\,dx = 2\sin a$.

## Variantes par changement de variable

Avec $u = ax + b$ :

$$\int\cos(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}\sin(ax + b) + C$$

Par exemple, $\int\cos(4x - 1)\,dx = \frac{1}{4}\sin(4x - 1) + C$, et $\int\cos(\pi x)\,dx = \frac{1}{\pi}\sin(\pi x) + C$.

Quand la dérivée de l'intérieur apparaît en facteur, on utilise un [changement de variable](/rules/u-substitution-rule) :

$$\int \cos x\,e^{\sin x}\,dx = e^{\sin x} + C \quad (u = \sin x)$$

$$\int \cos x\,\sin^3 x\,dx = \frac{\sin^4 x}{4} + C \quad (u = \sin x)$$

$$\int \frac{\cos(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\,dx = 2\sin(\sqrt{x}) + C \quad (u = \sqrt{x})$$

Pour la dernière, $du = \frac{1}{2\sqrt{x}}dx$, donc $\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\,du$.

## Exemples corrigés

**Exemple 1.** $\int(2\cos x - 3\sin x)\,dx = 2\sin x + 3\cos x + C$. Remarquez comment le moins devant $\sin$ se combine avec le moins de $-\cos x$ pour donner $+3\cos x$.

**Exemple 2.** $\int_0^{\pi/4}\cos(2x)\,dx = \left[\frac{1}{2}\sin(2x)\right]_0^{\pi/4} = \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{2} = \frac{1}{2}$.

**Exemple 3 : un problème de condition initiale.** Si $f'(x) = \cos x$ et $f(0) = 3$, alors $f(x) = \sin x + C$ et $f(0) = C = 3$, donc $f(x) = \sin x + 3$.

**Exemple 4 : mouvement harmonique simple.** Si un ressort a pour vitesse $v(t) = 4\cos(2t)$ et pour position $s(0) = 0$, alors $s(t) = 2\sin(2t)$. L'amplitude vaut $2$.

## Erreurs fréquentes

1. **Écrire $-\sin x$.** C'est la dérivée de $\cos x$, pas son intégrale.
2. **Oublier de diviser par $a$.** $\int\cos(3x)\,dx = \frac{1}{3}\sin(3x) + C$, et non $\sin(3x) + C$.
3. **Intégrer $\cos^2 x$ en $\sin^2 x$ ou en $\frac{\cos^3 x}{3}$.** Les puissances de fonctions trigonométriques demandent des identités. Voir l'[intégrale de cos² x](/integrals/cos-squared-x).
4. **Intégrer $\cos(x^2)$ en $\frac{\sin(x^2)}{2x}$.** On ne peut pas diviser par une dérivée intérieure qui contient la variable. $\int\cos(x^2)\,dx$ n'a pas de primitive élémentaire.

Entraînez-vous avec les [exercices sur les intégrales trigonométriques](/practice-problems/trig-integrals).

## Questions fréquentes

### Quelle est l'intégrale de cos x ?

L'intégrale de $\cos x$ est $\sin x + C$.

### Quelle est l'intégrale de cos(2x) ?

C'est $\frac{1}{2}\sin(2x) + C$. Vérification : la dérivée de $\frac{1}{2}\sin(2x)$ est $\frac{1}{2}\cdot 2\cos(2x) = \cos(2x)$.

### Combien vaut l'intégrale de cos x entre 0 et π ?

Elle vaut $\sin\pi - \sin 0 = 0$. L'aire au-dessus de l'axe sur $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ compense l'aire en dessous sur $\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$.

### L'intégrale de cos x est-elle égale à -sin x ?

Non. $-\sin x$ est la dérivée de $\cos x$. L'intégrale est $+\sin x + C$.