# Intégrale de cotan x : formule, démonstration et exemples

> L'intégrale de cotan x vaut ln|sin x| + C. Le changement de variable u = sin x, le lien avec tan x, puis cotan(ax), cotan² x et des intégrales définies.

Source : https://practicecalculus.com/fr/integrales/integrale-de-cotan-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \int \cot x\,dx = \ln\lvert\sin x\rvert + C $$

## En bref

- **Primitive:** $\ln\lvert\sin x\rvert + C$
- **Forme équivalente:** $-\ln\lvert\csc x\rvert + C$
- **Méthode:** Écrire $\dfrac{\cos x}{\sin x}$, puis poser $u = \sin x$
- **Forme affine:** $\int\cot(ax)\,dx = \dfrac{1}{a}\ln\lvert\sin(ax)\rvert + C$
- **Vérification:** $\dfrac{d}{dx}\ln\lvert\sin x\rvert = \cot x$

## À retenir

- L'intégrale de $\cot x$ est $\ln\lvert\sin x\rvert + C$.
- On écrit $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$. Le numérateur est la dérivée du dénominateur, donc le résultat est un logarithme.
- Contrairement à $\tan x$, il n'y a pas de signe moins : la dérivée de $\sin x$ est $+\cos x$.
- Ce n'est pas $-\csc^2 x$. C'est la dérivée de $\cot x$.

L'**intégrale de $\cot x$ est $\ln\lvert\sin x\rvert + C$** (en France, la cotangente se note souvent cotan x). Elle s'obtient par un seul changement de variable et c'est le reflet de l'[intégrale de tan x](/integrals/tan-x).

$$\int \cot x\,dx = \ln\lvert\sin x\rvert + C$$

## Graphique de cotan x et de sa primitive

```graph
title: 'Aire sous y = cotan x de π/6 à π/2, avec la primitive y = ln|sin x|'
caption: 'L''aire hachurée vaut $\ln 2 \approx 0.693$. La primitive en pointillés atteint son maximum, $0$, en $x = \frac{\pi}{2}$, exactement là où $\cot x$ s''annule.'
x: [-0.2, 3.4]
y: [-3, 4]
functions:
  - expr: cot(x)
    label: y = cotan x
    domain: [0.25, 2.9]
  - expr: ln(abs(sin(x)))
    label: y = ln|sin x| (primitive)
    dashed: true
    domain: [0.05, 3.09]
shade: {expr: cot(x), from: 0.5236, to: 1.5708}
points:
  - [1.5708, 0, '(π/2, 0)']
```

## Démonstration pas à pas

1. Réécrire : $\displaystyle\int\cot x\,dx = \int\frac{\cos x}{\sin x}\,dx$.
2. Poser $u = \sin x$. Alors $du = \cos x\,dx$.
3. Substituer : $\displaystyle\int\frac{du}{u} = \ln\lvert u\rvert + C$.
4. Remplacer $u = \sin x$ : $\ln\lvert\sin x\rvert + C$.

L'étape 3 est l'[intégrale de 1/x](/integrals/1-over-x). Comme $\ln\lvert\sin x\rvert = -\ln\lvert\csc x\rvert$, certains ouvrages écrivent le résultat $-\ln\lvert\csc x\rvert + C$. C'est la même fonction.

## Vérification par dérivation

$$\frac{d}{dx}\ln\lvert\sin x\rvert = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x \checkmark$$

Dans le sens direct, c'est différent : la [dérivée de cotan x](/derivatives/cot-x) vaut $-\csc^2 x$.

## Comparaison de tan et cotan

| | $\tan x$ | $\cot x$ |
| --- | --- | --- |
| Réécriture | $\frac{\sin x}{\cos x}$ | $\frac{\cos x}{\sin x}$ |
| Changement de variable | $u = \cos x$, $du = -\sin x\,dx$ | $u = \sin x$, $du = \cos x\,dx$ |
| Intégrale | $-\ln\lvert\cos x\rvert + C$ | $\ln\lvert\sin x\rvert + C$ |
| Dérivée | $\sec^2 x$ | $-\csc^2 x$ |

Le signe moins apparaît pour $\tan x$ mais pas pour $\cot x$, car $\cos x$ se dérive en $-\sin x$ alors que $\sin x$ se dérive en $+\cos x$.

## Intégrales définies

$$\int_{\pi/6}^{\pi/2}\cot x\,dx = \ln 1 - \ln\frac{1}{2} = \ln 2$$

$$\int_{\pi/4}^{\pi/2}\cot x\,dx = 0 - \ln\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2}\ln 2$$

Partir de $x = 0$ donne une intégrale impropre divergente, puisque $\ln\sin x \to -\infty$ quand $x \to 0^+$.

## Variantes par changement de variable

$$\int\cot(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}\ln\lvert\sin(ax + b)\rvert + C$$

**Exemple 1.** $\int\cot(4x)\,dx = \frac{1}{4}\ln\lvert\sin 4x\rvert + C$.

**Exemple 2.** $\int x\cot(x^2)\,dx = \frac{1}{2}\ln\lvert\sin(x^2)\rvert + C$, avec $u = x^2$.

**Exemple 3 : cotangente au carré.** On utilise $\cot^2 x = \csc^2 x - 1$ :

$$\int\cot^2 x\,dx = \int(\csc^2 x - 1)\,dx = -\cot x - x + C$$

Vérification : $\frac{d}{dx}(-\cot x - x) = \csc^2 x - 1 = \cot^2 x$.

**Exemple 4 : une cotangente cachée.** $\int\frac{\cos x}{3\sin x + 2}\,dx = \frac{1}{3}\ln\lvert 3\sin x + 2\rvert + C$, avec $u = 3\sin x + 2$.

## Erreurs fréquentes

1. **Répondre $-\csc^2 x$.** C'est la dérivée de $\cot x$.
2. **Ajouter un signe moins par analogie avec $\tan x$.** $-\ln\lvert\sin x\rvert$ a pour dérivée $-\cot x$.
3. **Répondre $\ln\lvert\cos x\rvert$.** Le logarithme porte sur le dénominateur de $\frac{\cos x}{\sin x}$, c'est-à-dire $\sin x$.
4. **Oublier la valeur absolue.** $\sin x < 0$ sur $(\pi, 2\pi)$.

Entraînez-vous avec les [exercices sur le changement de variable](/practice-problems/u-substitution).

## Questions fréquentes

### Quelle est l'intégrale de cotan x ?

L'intégrale de $\cot x$ est $\ln\lvert\sin x\rvert + C$.

### Quelle est l'intégrale de cos x / sin x ?

C'est $\cot x$, donc l'intégrale vaut $\ln\lvert\sin x\rvert + C$.

### Quelle est l'intégrale de cotan(2x) ?

C'est $\frac{1}{2}\ln\lvert\sin 2x\rvert + C$.

### Combien vaut l'intégrale de cotan x entre π/6 et π/2 ?

Elle vaut $\ln\sin\frac{\pi}{2} - \ln\sin\frac{\pi}{6} = 0 - \ln\frac{1}{2} = \ln 2 \approx 0.693$.