# Intégrale de csc x (1/sin x) : formule, démonstration et exemples

> L'intégrale de csc x = 1/sin x vaut -ln|csc x + cot x| + C, ou ln|tan(x/2)| + C. La démonstration, pourquoi les formes coïncident et des exemples.

Source : https://practicecalculus.com/fr/integrales/integrale-de-csc-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \int \csc x\,dx = -\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C $$

## En bref

- **Primitive:** $-\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C$
- **Forme équivalente:** $\ln\lvert\csc x - \cot x\rvert + C$
- **Forme de l''angle moitié:** $\ln\left\lvert\tan\dfrac{x}{2}\right\rvert + C$
- **Méthode:** Multiplier par $\dfrac{\csc x + \cot x}{\csc x + \cot x}$
- **De π/3 à π/2:** $\dfrac{1}{2}\ln 3 \approx 0.549$

## À retenir

- L'intégrale de $\csc x$ est $-\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C$.
- On peut aussi l'écrire $\ln\lvert\csc x - \cot x\rvert + C$ ou $\ln\left\lvert\tan\frac{x}{2}\right\rvert + C$.
- La démonstration reprend celle de $\sec x$, avec un signe moins en plus venant des dérivées de $\csc$ et $\cot$.
- L'intégrale de $\frac{1}{\sin x}$ est la même chose, puisque $\csc x = \frac{1}{\sin x}$.

L'**intégrale de $\csc x$ est $-\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C$**. Ici csc désigne la cosécante, c'est-à-dire 1/sin x, et cot la cotangente. C'est la jumelle de l'[intégrale de sec x](/integrals/sec-x), et elle se démontre avec la même astuce.

$$\int \csc x\,dx = -\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C = \ln\lvert\csc x - \cot x\rvert + C$$

## Graphique de csc x et de l'aire sous la courbe

```graph
title: 'Aire sous y = csc x de π/3 à π/2, avec la primitive y = ln|tan(x/2)|'
caption: 'L''aire hachurée vaut $\frac{1}{2}\ln 3 \approx 0.549$. La primitive en pointillés s''annule en $x = \frac{\pi}{2}$, où $\tan\frac{\pi}{4} = 1$.'
x: [-0.2, 3.4]
y: [-3, 4]
functions:
  - expr: csc(x)
    label: y = csc x
    domain: [0.26, 2.88]
  - expr: ln(abs(tan(x/2)))
    label: y = ln|tan(x/2)| (primitive)
    dashed: true
    domain: [0.1, 3.04]
shade: {expr: csc(x), from: 1.0472, to: 1.5708}
points:
  - [1.5708, 1, '(π/2, 1)']
```

## Démonstration pas à pas

1. Multiplier par $\frac{\csc x + \cot x}{\csc x + \cot x}$ :
$$\int\csc x\,dx = \int\frac{\csc^2 x + \csc x\cot x}{\csc x + \cot x}\,dx$$
2. Poser $u = \csc x + \cot x$. Avec la [dérivée de csc x](/derivatives/csc-x) et la [dérivée de cotan x](/derivatives/cot-x) :
$$du = (-\csc x\cot x - \csc^2 x)\,dx = -(\csc^2 x + \csc x\cot x)\,dx$$
3. Le numérateur vaut donc $-du$, et l'intégrale devient $\int\frac{-du}{u} = -\ln\lvert u\rvert + C$.
4. Revenir à la variable de départ : $-\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C$.

## Pourquoi les trois formes sont égales

D'abord, $(\csc x + \cot x)(\csc x - \cot x) = \csc^2 x - \cot^2 x = 1$. Donc

$$-\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert = \ln\frac{1}{\lvert\csc x + \cot x\rvert} = \ln\lvert\csc x - \cot x\rvert$$

Ensuite, $\csc x - \cot x = \frac{1 - \cos x}{\sin x}$, et la formule de l'angle moitié dit que $\frac{1 - \cos x}{\sin x} = \tan\frac{x}{2}$. On obtient $\ln\left\lvert\tan\frac{x}{2}\right\rvert$, la forme la plus courante dans les cours français.

## Vérification par dérivation

On utilise la forme $\ln\lvert\csc x - \cot x\rvert$ :

$$\frac{d}{dx}\ln\lvert\csc x - \cot x\rvert = \frac{-\csc x\cot x + \csc^2 x}{\csc x - \cot x} = \frac{\csc x(\csc x - \cot x)}{\csc x - \cot x} = \csc x \checkmark$$

## Intégrales définies

En $x = \frac{\pi}{2}$ : $\csc - \cot = 1 - 0 = 1$, donc la primitive vaut $\ln 1 = 0$. En $x = \frac{\pi}{3}$ : $\csc - \cot = \frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Donc

$$\int_{\pi/3}^{\pi/2}\csc x\,dx = 0 - \ln\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2}\ln 3 \approx 0.549$$

L'intégrale à partir de $0$ diverge toujours, car $\csc x$ a une asymptote verticale en $x = 0$ et $\ln\tan\frac{x}{2} \to -\infty$.

## Variantes par changement de variable

$$\int\csc(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}\ln\lvert\csc(ax + b) - \cot(ax + b)\rvert + C$$

**Exemple 1.** $\int\csc(3x)\,dx = \frac{1}{3}\ln\lvert\csc 3x - \cot 3x\rvert + C$.

**Exemple 2.** $\int\frac{dx}{2\sin x\cos x} = \int\frac{dx}{\sin 2x} = \int\csc(2x)\,dx = \frac{1}{2}\ln\lvert\tan x\rvert + C$, avec la forme de l'angle moitié et $\frac{2x}{2} = x$.

**Exemple 3.** $\int\frac{\cos x}{\sin x}\,dx$ se ressemble, mais c'est l'[intégrale de cotan x](/integrals/cot-x), qui vaut $\ln\lvert\sin x\rvert + C$.

## Erreurs fréquentes

1. **Répondre $-\csc x\cot x$.** C'est la dérivée de $\csc x$.
2. **Perdre le signe moins** devant $\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert$. La dérivée serait alors $-\csc x$.
3. **Mélanger les formes.** $-\ln\lvert\csc x - \cot x\rvert$ est faux : le signe moins devant va avec le plus à l'intérieur, et inversement.
4. **Répondre $-\cot x$.** C'est l'intégrale de $\csc^2 x$, pas de $\csc x$.

Entraînez-vous avec les [exercices sur les intégrales trigonométriques](/practice-problems/trig-integrals).

## Questions fréquentes

### Quelle est l'intégrale de csc x ?

L'intégrale de $\csc x$ est $-\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C$, ce qui vaut $\ln\lvert\csc x - \cot x\rvert + C$.

### Pourquoi -ln|csc x + cot x| et ln|csc x - cot x| sont-ils égaux ?

$(\csc x + \cot x)(\csc x - \cot x) = \csc^2 x - \cot^2 x = 1$, donc $\csc x - \cot x = \frac{1}{\csc x + \cot x}$. En passant au logarithme, l'inverse devient un signe moins.

### Quelle est l'intégrale de 1/sin x ?

Comme $\frac{1}{\sin x} = \csc x$, c'est $\ln\left\lvert\tan\frac{x}{2}\right\rvert + C$, ou n'importe laquelle des formes équivalentes.

### Quelle est l'intégrale de csc(3x) ?

C'est $\frac{1}{3}\ln\lvert\csc 3x - \cot 3x\rvert + C$.