# Intégrale de e^(2x) : formule, méthode et exemples

> L'intégrale de e^(2x) vaut ½e^(2x) + C, et plus généralement ∫e^(kx) dx = (1/k)e^(kx) + C. Le changement de variable, un graphique et des exemples.

Source : https://practicecalculus.com/fr/integrales/integrale-de-e-puissance-2x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C $$

## En bref

- **Primitive:** $\frac{1}{2}e^{2x} + C$
- **Forme générale:** $\int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$ pour $k \ne 0$
- **Méthode:** Changement de variable $u = 2x$, $du = 2\,dx$
- **De 0 à 1:** $\frac{e^2 - 1}{2} \approx 3.195$

## À retenir

- L'intégrale de $e^{2x}$ est $\frac{1}{2}e^{2x} + C$.
- Pour toute constante $k \ne 0$, $\int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$. On divise par le coefficient de $x$.
- Cela ne marche que si l'exposant est affine. Pour $e^{x^2}$, ce raccourci n'existe pas.
- On peut aussi le voir à partir de $e^{2x} = (e^x)^2$, mais le changement de variable est plus rapide.

L'**intégrale de $e^{2x}$ est $\dfrac{1}{2}e^{2x} + C$**. Plus généralement, pour intégrer $e^{kx}$, on garde l'exponentielle et on divise par $k$.

$$\int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C \qquad\qquad \int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C\quad (k \ne 0)$$

## Graphique de e²ˣ et de sa primitive

```graph
title: 'y = e^(2x) et sa primitive ½e^(2x)'
caption: 'L''aire hachurée de $0$ à $1$ vaut $\frac{e^2 - 1}{2} \approx 3.195$. La primitive en pointillés a toujours la moitié de la hauteur de $e^{2x}$, puisque $\frac{1}{2}e^{2x}$ n''est que $e^{2x}$ divisée par deux.'
x: [-2, 1.2]
y: [-0.5, 10]
functions:
  - expr: e^(2x)
    label: y = e^(2x)
  - expr: 0.5*e^(2x)
    label: y = ½e^(2x) (primitive)
    dashed: true
shade:
  expr: e^(2x)
  from: 0
  to: 1
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
```

## Comment intégrer e²ˣ pas à pas

On utilise un [changement de variable](/rules/u-substitution-rule).

1. Poser $u = 2x$. Alors $du = 2\,dx$, donc $dx = \frac{1}{2}\,du$.
2. Réécrire : $\displaystyle\int e^{2x}\,dx = \int e^u\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int e^u\,du$.
3. Intégrer : $\frac{1}{2}e^u + C$, avec l'[intégrale de eˣ](/integrals/e-to-the-x).
4. Revenir à la variable de départ : $\frac{1}{2}e^{2x} + C$.

Les mêmes étapes avec $u = kx$ donnent $\frac{1}{k}e^{kx} + C$. Avec une constante ajoutée, $u = kx + b$, on obtient $\frac{1}{k}e^{kx + b} + C$.

**Une autre façon de le voir.** La règle « diviser par la pente de l'intérieur » fonctionne pour tout intérieur affine : $\int\cos(3x)\,dx = \frac{1}{3}\sin 3x$, $\int (2x+1)^5\,dx = \frac{1}{12}(2x+1)^6$. C'est l'inverse de la dérivation en chaîne, qui multiplie par la pente de l'intérieur.

## Vérification par dérivation

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{k}e^{kx}\right) = \frac{1}{k}\cdot e^{kx}\cdot k = e^{kx}$$

La [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule) fait apparaître un facteur $k$, que le $\frac{1}{k}$ compense. Voir la [dérivée de e²ˣ](/derivatives/e-to-the-2x) pour le sens direct.

## Intégrales définies

| Intégrale | Calcul | Valeur |
| --- | --- | --- |
| $\int_0^1 e^{2x}\,dx$ | $\frac{1}{2}(e^2 - 1)$ | $\approx 3.195$ |
| $\int_0^{\ln 3} e^{2x}\,dx$ | $\frac{1}{2}(9 - 1)$ | $4$ |
| $\int_{-\infty}^{0} e^{2x}\,dx$ | $\frac{1}{2}(1 - 0)$ | $\frac{1}{2}$ |
| $\int_0^{\infty} e^{-3x}\,dx$ | $-\frac{1}{3}(0 - 1)$ | $\frac{1}{3}$ |

Dans la deuxième ligne, $e^{2\ln 3} = (e^{\ln 3})^2 = 9$. La dernière ligne illustre un résultat utile : $\int_0^\infty e^{-kx}\,dx = \frac{1}{k}$ pour $k > 0$.

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : un exposant décalé.** $\displaystyle\int e^{3x + 1}\,dx = \frac{1}{3}e^{3x+1} + C$.

**Exemple 2 : une fraction dans l'exposant.** $\displaystyle\int e^{x/2}\,dx = 2e^{x/2} + C$, puisque $k = \frac{1}{2}$.

**Exemple 3 : développer d'abord.** $\displaystyle\int (e^x + 1)^2\,dx$. On développe en $e^{2x} + 2e^x + 1$ :

$$\int (e^{2x} + 2e^x + 1)\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + 2e^x + x + C$$

**Exemple 4 : simplifier un quotient.** $\displaystyle\int \frac{e^{5x}}{e^{3x}}\,dx = \int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C$.

**Exemple 5 : croissance.** Une population croît au rythme de $r(t) = 100e^{0.2t}$ individus par an. L'augmentation sur les 5 premières années vaut

$$\int_0^5 100e^{0.2t}\,dt = 500\left(e^{1} - 1\right) \approx 859$$

## Erreurs fréquentes

1. **Multiplier au lieu de diviser.** $\int e^{2x}\,dx$ ne vaut pas $2e^{2x}$. C'est la dérivée.
2. **Diviser par $2x$.** Le diviseur doit être une constante. Si l'exposant n'est pas affine, le raccourci ne marche pas.
3. **L'appliquer à $e^{x^2}$.** $\int e^{x^2}\,dx$ n'a pas de primitive élémentaire. Voir l'[intégrale de e^(x²)](/integrals/e-to-the-x-squared).
4. **Erreurs de signe avec $k$ négatif.** $\int e^{-2x}\,dx = -\frac{1}{2}e^{-2x} + C$. Voir l'[intégrale de e⁻ˣ](/integrals/e-to-the-negative-x).

## Questions fréquentes

### Quelle est l'intégrale de e^(2x) ?

C'est $\frac{1}{2}e^{2x} + C$.

### Quelle est l'intégrale de e^(kx) ?

C'est $\frac{1}{k}e^{kx} + C$ pour toute constante $k$ non nulle. Par exemple, $\int e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}e^{3x} + C$ et $\int e^{-4x}\,dx = -\frac{1}{4}e^{-4x} + C$.

### Quelle est l'intégrale de e^(x/2) ?

C'est $2e^{x/2} + C$. Ici $k = \frac{1}{2}$, donc $\frac{1}{k} = 2$.

### L'intégrale de e^(2x) est-elle égale à e^(2x)/(2x) ?

Non. On divise par la constante $2$, pas par $2x$. Vérification : la dérivée de $\frac{1}{2}e^{2x}$ est $e^{2x}$, mais pas celle de $\frac{e^{2x}}{2x}$.