# Intégrale de e^(−x) : formule, méthode et exemples

> L'intégrale de e^(−x) vaut −e^(−x) + C. Le changement de variable, pourquoi l'aire de 0 à l'infini vaut 1, un graphique et des exemples comme x e^(−x).

Source : https://practicecalculus.com/fr/integrales/integrale-de-e-puissance-moins-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C $$

## En bref

- **Primitive:** $-e^{-x} + C$
- **De 0 à ∞:** $1$
- **De 0 à 1:** $1 - \frac{1}{e} \approx 0.632$
- **Forme générale:** $\int e^{-kx}\,dx = -\frac{1}{k}e^{-kx} + C$
- **Méthode:** Changement de variable $u = -x$, $du = -dx$

## À retenir

- L'intégrale de $e^{-x}$ est $-e^{-x} + C$. Le signe moins vient de la dérivée de l'intérieur, $-1$.
- L'aire totale sous $e^{-x}$ de $0$ à $\infty$ vaut exactement $1$.
- En général, $\int_0^\infty e^{-kx}\,dx = \frac{1}{k}$ pour $k > 0$, c'est pourquoi $ke^{-kx}$ est une densité de probabilité.
- $\int x e^{-x}\,dx = -(x+1)e^{-x} + C$, par intégration par parties.

L'**intégrale de $e^{-x}$ est $-e^{-x} + C$**. La seule différence avec l'[intégrale de eˣ](/integrals/e-to-the-x) est le signe moins, qui vient du $-1$ dans l'exposant.

$$\int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C$$

## Graphique de e⁻ˣ et de son aire

```graph
title: 'y = e^(−x), avec l''aire de 0 à 4 hachurée'
caption: 'L''aire hachurée vaut $1 - e^{-4} \approx 0.982$. En continuant jusqu''à l''infini, l''aire tend vers exactement $1$.'
x: [-1, 6]
y: [-0.5, 2.5]
functions:
  - expr: e^(-x)
    label: y = e^(−x)
shade:
  expr: e^(-x)
  from: 0
  to: 4
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
```

$e^{-x}$ est une décroissance exponentielle : elle part de $1$ en $x = 0$ et perd la même fraction de sa hauteur à chaque pas d'une unité. C'est cette diminution régulière qui donne une aire finie à la queue infinie.

## Comment intégrer e⁻ˣ pas à pas

1. Poser $u = -x$. Alors $du = -dx$, donc $dx = -du$.
2. Réécrire : $\displaystyle\int e^{-x}\,dx = -\int e^u\,du$.
3. Intégrer : $-e^u + C$.
4. Revenir à la variable de départ : $-e^{-x} + C$.

C'est le cas $k = -1$ de la règle $\int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$ vue sur la page [intégrale de e²ˣ](/integrals/e-to-the-2x). Pour des taux de décroissance $k > 0$ :

$$\int e^{-kx}\,dx = -\frac{1}{k}e^{-kx} + C$$

## Vérification par dérivation

$$\frac{d}{dx}\left(-e^{-x}\right) = -e^{-x}\cdot(-1) = e^{-x}$$

Les deux signes moins se compensent. Voir la [dérivée de e⁻ˣ](/derivatives/e-to-the-negative-x).

## Intégrales définies et impropres

**De 0 à 1 :** $\left[-e^{-x}\right]_0^1 = -e^{-1} + 1 = 1 - \frac{1}{e} \approx 0.632$.

**De 0 à ∞ :** c'est une [intégrale impropre](/blog/improper-integrals), donc on passe à la limite :

$$\int_0^\infty e^{-x}\,dx = \lim_{b\to\infty}\left(1 - e^{-b}\right) = 1$$

**Un taux de décroissance k.** $\int_0^\infty e^{-kx}\,dx = \frac{1}{k}$ pour $k > 0$. En multipliant par $k$, on obtient $\int_0^\infty ke^{-kx}\,dx = 1$, la probabilité totale de la loi exponentielle utilisée pour les temps d'attente.

**Vérification par la demi-vie.** $\int_0^{\ln 2} e^{-x}\,dx = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. La moitié de l'aire totale se trouve avant $x = \ln 2 \approx 0.693$.

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : un exposant multiplié.** $\displaystyle\int e^{-x/3}\,dx = -3e^{-x/3} + C$.

**Exemple 2 : x fois e⁻ˣ.** On utilise l'[intégration par parties](/rules/integration-by-parts-rule) avec $u = x$ et $dv = e^{-x}\,dx$, donc $du = dx$ et $v = -e^{-x}$ :

$$\int xe^{-x}\,dx = -xe^{-x} + \int e^{-x}\,dx = -xe^{-x} - e^{-x} + C = -(x+1)e^{-x} + C$$

De $0$ à $\infty$, cela vaut $0 - (-1) = 1$, car $xe^{-x} \to 0$ quand $x \to \infty$.

**Exemple 3 : un médicament dans le sang.** Un médicament est éliminé de l'organisme au rythme de $40e^{-0.5t}$ mg par heure. La quantité éliminée pendant les 4 premières heures vaut

$$\int_0^4 40e^{-0.5t}\,dt = -80\left(e^{-2} - 1\right) = 80\left(1 - e^{-2}\right) \approx 69.2 \text{ mg}$$

**Exemple 4 : fonctions hyperboliques.** $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$, donc

$$\int\cosh x\,dx = \frac{e^x - e^{-x}}{2} + C = \sinh x + C$$

## Erreurs fréquentes

1. **Oublier le signe moins.** $\int e^{-x}\,dx$ ne vaut pas $e^{-x} + C$. Dérivez votre résultat : vous devez obtenir $+e^{-x}$.
2. **Écrire $\frac{e^{-x+1}}{-x+1}$.** C'est la règle de la puissance appliquée à une exponentielle, ce qui n'est jamais valable.
3. **Croire que l'intégrale impropre diverge.** L'intervalle est infini, mais l'aire vaut $1$. Passez à la limite, ne vous arrêtez pas à « l'infini ».
4. **Confondre $e^{-x}$ et $e^{-x^2}$.** La courbe en cloche $e^{-x^2}$ n'a pas de primitive élémentaire ; voir l'[intégrale de e^(x²)](/integrals/e-to-the-x-squared).

Pour d'autres produits comme $xe^{-x}$, voir l'[intégrale de x eˣ](/integrals/x-e-to-the-x).

## Questions fréquentes

### Quelle est l'intégrale de e^(−x) ?

C'est $-e^{-x} + C$.

### Combien vaut l'intégrale de e^(−x) de 0 à l'infini ?

Elle vaut $1$. La primitive $-e^{-x}$ va de $-1$ en $x = 0$ à $0$ quand $x \to \infty$, donc l'intégrale vaut $0 - (-1) = 1$.

### Quelle est l'intégrale de x e^(−x) ?

C'est $-(x+1)e^{-x} + C$. On intègre par parties avec $u = x$ et $dv = e^{-x}\,dx$. De $0$ à $\infty$, elle vaut $1$.

### Pourquoi y a-t-il un signe moins dans l'intégrale de e^(−x) ?

Parce que la dérivée de $-e^{-x}$ est $-e^{-x}\cdot(-1) = e^{-x}$. Sans le signe moins, la dérivation en chaîne laisserait $-e^{-x}$.