# Intégrale de eˣ sin x : formule, méthode et exemples > L'intégrale de eˣ sin x vaut ½eˣ(sin x − cos x) + C. L'astuce de la double intégration par parties, la vérification, un graphique et e^(ax) sin(bx). Source : https://practicecalculus.com/fr/integrales/integrale-de-e-puissance-x-sin-x Mis à jour : 2026-11-06 $$ \int e^x\sin x\,dx = \frac{e^x}{2}\left(\sin x - \cos x\right) + C $$ ## En bref - **Primitive:** $\frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + C$ - **Méthode:** Deux intégrations par parties, puis on isole l'intégrale - **Intégrale jumelle:** $\int e^x\cos x\,dx = \frac{1}{2}e^x(\sin x + \cos x) + C$ - **Forme générale:** $\int e^{ax}\sin bx\,dx = \frac{e^{ax}(a\sin bx - b\cos bx)}{a^2 + b^2} + C$ - **De 0 à π:** $\frac{e^\pi + 1}{2} \approx 12.07$ ## À retenir - L'intégrale de $e^x\sin x$ est $\frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + C$. - On intègre deux fois par parties. L'intégrale de départ réapparaît, et on la détermine comme l'inconnue d'une équation. - Gardez le même type de fonction comme $u$ les deux fois (par exemple l'exponentielle), sinon la deuxième étape défait la première. - En général, $\int e^{ax}\sin bx\,dx = \frac{e^{ax}(a\sin bx - b\cos bx)}{a^2+b^2} + C$. L'**intégrale de $e^x\sin x$ est $\dfrac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + C$**. C'est la célèbre intégrale « en boucle » : l'intégration par parties ne se termine jamais d'elle-même, mais après deux étapes on peut trouver le résultat par un peu d'algèbre. $$\int e^x\sin x\,dx = \frac{e^x}{2}\left(\sin x - \cos x\right) + C$$ ## Graphique de eˣ sin x ```graph title: 'y = eˣ sin x, avec l''aire de 0 à π hachurée' caption: 'L''aire hachurée vaut $\frac{e^\pi + 1}{2} \approx 12.07$. La courbe oscille comme $\sin x$, mais les oscillations s''amplifient à cause du facteur $e^x$.' x: [-3, 4] y: [-3, 8] functions: - expr: exp(x)*sin(x) label: y = eˣ sin x shade: expr: exp(x)*sin(x) from: 0 to: 3.14159 points: - [2.35619, 7.4605, 'max en x = 3π/4'] ``` ## Comment intégrer eˣ sin x pas à pas Notons $I$ l'intégrale. On utilise l'[intégration par parties](/rules/integration-by-parts-rule) avec la fonction trigonométrique comme $u$ les deux fois. 1. **Premier passage.** $u = \sin x$, $dv = e^x\,dx$, donc $du = \cos x\,dx$ et $v = e^x$ : $$I = e^x\sin x - \int e^x\cos x\,dx$$ 2. **Second passage**, sur $\int e^x\cos x\,dx$. De nouveau, la fonction trigonométrique est $u$ : $u = \cos x$, $dv = e^x\,dx$, donc $du = -\sin x\,dx$, $v = e^x$ : $$\int e^x\cos x\,dx = e^x\cos x + \int e^x\sin x\,dx = e^x\cos x + I$$ 3. **Remplacer.** L'intégrale de départ est revenue : $$I = e^x\sin x - e^x\cos x - I$$ 4. **Isoler $I$.** On ajoute $I$ aux deux membres : $2I = e^x(\sin x - \cos x)$, donc $$I = \frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x) + C$$ Le $+ C$ s'ajoute à la fin, après la résolution. La méthode fonctionne aussi bien avec $u = e^x$ les deux fois. Ce qui échoue, c'est de changer en cours de route : si l'on prend $u = \sin x$ d'abord puis $u = e^x$ ensuite, la deuxième étape défait la première et l'on obtient $I = I$. ## Vérification par dérivation $$\frac{d}{dx}\left[\frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x)\right] = \frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x) + \frac{e^x}{2}(\cos x + \sin x) = \frac{e^x}{2}\cdot 2\sin x = e^x\sin x$$ ## La formule générale La même boucle en deux étapes pour $e^{ax}\sin bx$ et $e^{ax}\cos bx$ donne $$\int e^{ax}\sin bx\,dx = \frac{e^{ax}(a\sin bx - b\cos bx)}{a^2 + b^2} + C$$ $$\int e^{ax}\cos bx\,dx = \frac{e^{ax}(a\cos bx + b\sin bx)}{a^2 + b^2} + C$$ Avec $a = b = 1$, le dénominateur vaut $2$, ce qui correspond au résultat ci-dessus. **Une voie plus rapide avec les nombres complexes.** Comme $e^{ix} = \cos x + i\sin x$, $e^x\sin x$ est la partie imaginaire de $e^{(1+i)x}$. En intégrant, on obtient $\frac{e^{(1+i)x}}{1+i} = \frac{(1-i)}{2}e^x(\cos x + i\sin x)$, dont la partie imaginaire est $\frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x)$. ## Intégrales définies **De 0 à π :** $$\left[\frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x)\right]_0^\pi = \frac{e^\pi}{2}(0 + 1) - \frac{1}{2}(0 - 1) = \frac{e^\pi + 1}{2} \approx 12.07$$ **De 0 à π/2 :** $\frac{e^{\pi/2}}{2}(1 - 0) - \frac{1}{2}(0 - 1) = \frac{e^{\pi/2} + 1}{2} \approx 2.905$. **Version amortie.** $\int_0^\infty e^{-x}\sin x\,dx$. On applique la formule avec $a = -1$, $b = 1$ : la primitive est $\frac{e^{-x}(-\sin x - \cos x)}{2}$, qui tend vers $0$ à l'infini. La valeur est donc $0 - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$. ## Exemples corrigés **Exemple 1 : eˣ cos x.** D'après l'étape 2 ci-dessus, $\int e^x\cos x\,dx = e^x\cos x + I$. On remplace $I$ : $$\int e^x\cos x\,dx = e^x\cos x + \frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x) = \frac{e^x}{2}(\sin x + \cos x) + C$$ **Exemple 2 : des fréquences différentes.** $\int e^{2x}\sin 3x\,dx = \frac{e^{2x}(2\sin 3x - 3\cos 3x)}{13} + C$, avec $a^2 + b^2 = 4 + 9 = 13$. **Exemple 3 : oscillation amortie.** Le déplacement d'un ressort vaut $e^{-t}\cos t$. Son déplacement algébrique total sur $[0, \infty)$ vaut $\int_0^\infty e^{-t}\cos t\,dt = \frac{1}{2}$, d'après la formule du cosinus avec $a = -1$, $b = 1$ : la primitive $\frac{e^{-t}(\sin t - \cos t)}{2}$ va de $-\frac{1}{2}$ à $0$. ## Erreurs fréquentes 1. **Changer le choix de $u$** entre les deux passages. On aboutit à $I = I$, ce qui est vrai mais inutile. 2. **Oublier de diviser par 2.** Après l'étape 3, on a $2I$, pas $I$. 3. **Erreurs de signe au second passage.** $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$, donc la seconde intégrale s'ajoute au lieu de se soustraire. 4. **S'attendre à ce que l'intégration par parties se termine.** Avec $x\sin x$, la puissance de $x$ disparaît ; avec $e^x\sin x$, rien ne disparaît, d'où la boucle. Comparez avec l'[intégrale de x sin x](/integrals/x-sin-x). La leçon sur les [intégrations par parties répétées et LIATE](/learn/calculus-2/integration-techniques/repeated-parts-and-liate) travaille cette boucle, et le [guide de l'intégration par parties](/blog/integration-by-parts) propose d'autres exemples. ## Questions fréquentes ### Quelle est l'intégrale de eˣ sin x ? C'est $\frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + C$. ### Quelle est l'intégrale de eˣ cos x ? C'est $\frac{1}{2}e^x(\sin x + \cos x) + C$. La même méthode en deux étapes fonctionne, avec le signe du terme en cosinus inversé. ### Pourquoi l'intégration par parties ne s'arrête-t-elle pas pour eˣ sin x ? Ni $e^x$ ni $\sin x$ ne se simplifient en dérivant, donc l'intégration par parties tourne en boucle. Après deux étapes, l'intégrale de départ réapparaît, et on résout l'équation $I = \text{reste} - I$ pour trouver $I$. ### Quelle est l'intégrale de e^(2x) sin(3x) ? C'est $\frac{e^{2x}(2\sin 3x - 3\cos 3x)}{13} + C$, d'après la formule générale avec $a = 2$ et $b = 3$.