# Intégrale de eˣ : formule, méthode et exemples

> L'intégrale de eˣ vaut eˣ + C. Pourquoi eˣ est sa propre primitive, un graphique de l'aire, des intégrales définies et impropres, et des exemples corrigés.

Source : https://practicecalculus.com/fr/integrales/integrale-de-e-puissance-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \int e^x\,dx = e^x + C $$

## En bref

- **Primitive:** $e^x + C$
- **De 0 à 1:** $e - 1 \approx 1.718$
- **De −∞ à 0:** $1$
- **Avec un intérieur affine:** $\int e^{kx+b}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx+b} + C$
- **Dérivée:** $\frac{d}{dx}e^x = e^x$

## À retenir

- L'intégrale de $e^x$ est $e^x + C$, car $e^x$ est sa propre dérivée.
- L'aire sous $e^x$ de $a$ à $b$ vaut simplement $e^b - e^a$.
- Avec un intérieur affine, on divise par le coefficient de $x$ : $\int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$.
- N'utilisez pas la règle de la puissance sur $e^x$. La variable est dans l'exposant, donc $\frac{e^{x+1}}{x+1}$ est faux.

L'**intégrale de $e^x$ est $e^x + C$**. L'exponentielle est la seule fonction (à un facteur près) qui soit sa propre dérivée, elle est donc aussi sa propre primitive.

$$\int e^x\,dx = e^x + C$$

## Graphique de eˣ avec l'aire de 0 à 1

```graph
title: 'y = eˣ, avec l''aire de 0 à 1 hachurée'
caption: 'L''aire hachurée vaut $e^1 - e^0 = e - 1 \approx 1.718$. Comme la primitive est $e^x$ elle-même, l''aire jusqu''à un point $b$ (en partant de $-\infty$) est égale à la hauteur $e^b$.'
x: [-3, 2]
y: [-0.5, 6]
functions:
  - expr: e^x
    label: y = eˣ
shade:
  expr: e^x
  from: 0
  to: 1
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
  - [1, 2.718, '(1, e)']
```

## Pourquoi l'intégrale de eˣ vaut eˣ

Une primitive de $f$ est toute fonction dont la dérivée est $f$. La [dérivée de eˣ](/derivatives/e-to-the-x) est $e^x$, donc $e^x$ convient :

$$\frac{d}{dx}\left(e^x + C\right) = e^x$$

C'est toute la démonstration. Le $+ C$ est là parce que toute constante a une dérivée nulle, donc $e^x + 5$ et $e^x - 2$ sont aussi des primitives. Le [guide des primitives](/blog/antiderivatives) explique pourquoi toutes les primitives ont cette forme.

## Pas à pas : intégrales construites à partir de eˣ

1. **Sortir les constantes.** $\int 4e^x\,dx = 4e^x + C$, par la [règle du facteur constant](/rules/constant-multiple-rule).
2. **Séparer les sommes.** $\int (e^x + x^2)\,dx = e^x + \frac{x^3}{3} + C$.
3. **Réécrire les exposants décalés.** $e^{x+2} = e^2\cdot e^x$, donc $\int e^{x+2}\,dx = e^{x+2} + C$.
4. **Diviser par la pente de l'intérieur.** Si l'exposant est $kx + b$, le résultat est $\frac{1}{k}e^{kx+b} + C$. La page [intégrale de e²ˣ](/integrals/e-to-the-2x) détaille ce cas.

## Vérification par dérivation

Pour $\frac{1}{k}e^{kx+b}$, la [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule) donne $\frac{1}{k}\cdot e^{kx+b}\cdot k = e^{kx+b}$. Le facteur $\frac{1}{k}$ compense exactement le $k$ de la dérivation en chaîne.

## Intégrales définies et impropres

D'après le [théorème fondamental de l'analyse](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-2), $\int_a^b e^x\,dx = e^b - e^a$.

| Intégrale | Valeur |
| --- | --- |
| $\int_0^1 e^x\,dx$ | $e - 1 \approx 1.718$ |
| $\int_0^{\ln 2} e^x\,dx$ | $2 - 1 = 1$ |
| $\int_{-1}^{1} e^x\,dx$ | $e - \frac{1}{e} \approx 2.350$ |
| $\int_{-\infty}^{0} e^x\,dx$ | $1 - \lim_{a\to-\infty}e^a = 1$ |

La dernière est une [intégrale impropre](/blog/improper-integrals). La queue gauche de $e^x$ s'étend à l'infini, mais elle décroît si vite que son aire totale vaut exactement $1$.

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : une somme.** $\displaystyle\int (3e^x - 2x)\,dx = 3e^x - x^2 + C$.

**Exemple 2 : e dans la base et dans l'exposant.** $\displaystyle\int e^{x}e^{2}\,dx = e^2 e^x + C = e^{x+2} + C$. On ne regroupe les exposants que si les bases sont identiques.

**Exemple 3 : un changement de variable.** $\displaystyle\int \frac{e^x}{1 + e^x}\,dx$. On pose $u = 1 + e^x$, $du = e^x\,dx$ :

$$\int\frac{du}{u} = \ln(1 + e^x) + C$$

Pas besoin de valeur absolue, car $1 + e^x > 0$.

**Exemple 4 : l'exposant est une fonction.** $\displaystyle\int 2x\,e^{x^2}\,dx$. Avec $u = x^2$, $du = 2x\,dx$, on obtient $\int e^u\,du = e^{x^2} + C$. Cela ne marche que grâce au $2x$. Sans lui, $\int e^{x^2}\,dx$ n'a pas de primitive élémentaire ; voir l'[intégrale de e^(x²)](/integrals/e-to-the-x-squared).

**Exemple 5 : valeur moyenne.** La moyenne de $e^x$ sur $[0, 1]$ vaut $\frac{1}{1-0}\int_0^1 e^x\,dx = e - 1 \approx 1.718$.

## Erreurs fréquentes

1. **Utiliser la règle de la puissance.** $\int e^x\,dx \ne \frac{e^{x+1}}{x+1}$. La règle de la puissance concerne $x^n$, où la variable est la base.
2. **Oublier de diviser par $k$.** $\int e^{5x}\,dx = \frac{1}{5}e^{5x} + C$, et non $e^{5x} + C$.
3. **Diviser par une expression non constante.** $\int e^{x^2}\,dx \ne \frac{e^{x^2}}{2x}$. Dérivez cette expression : vous ne retrouverez pas $e^{x^2}$.
4. **Oublier le $+ C$** dans une intégrale indéfinie.

Pour d'autres bases comme $2^x$, voir l'[intégrale de 2ˣ](/integrals/2-to-the-x). La page [fonction exponentielle](/functions/natural-exponential-function) explique d'où vient $e$.

## Questions fréquentes

### Quelle est l'intégrale de eˣ ?

C'est $e^x + C$.

### Combien vaut l'intégrale de eˣ entre 0 et 1 ?

Elle vaut $e^1 - e^0 = e - 1 \approx 1.718$.

### Quelle est l'intégrale de e^(x+3) ?

C'est $e^{x+3} + C$. L'intérieur $x + 3$ a pour dérivée $1$, donc rien ne change. On peut aussi écrire $e^{x+3} = e^3 e^x$ et traiter $e^3$ comme une constante.

### Pourquoi l'intégrale de eˣ est-elle égale à eˣ ?

Parce que la dérivée de $e^x$ est $e^x$. L'intégration défait la dérivation, donc une fonction qui est sa propre dérivée est aussi sa propre primitive, à la constante $C$ près.