# Intégrale de ln x : formule, méthode et exemples

> L'intégrale de ln x vaut x ln x − x + C. L'intégration par parties pas à pas, la vérification, un graphique et des exemples comme ln(2x) et (ln x)².

Source : https://practicecalculus.com/fr/integrales/integrale-de-ln-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \int \ln x\,dx = x\ln x - x + C $$

## En bref

- **Primitive:** $x\ln x - x + C$
- **Méthode:** Intégration par parties avec $u = \ln x$, $dv = dx$
- **De 1 à e:** $1$
- **De 0 à 1:** $-1$ (impropre, converge)
- **Logarithme de base b:** $\int \log_b x\,dx = \frac{x\ln x - x}{\ln b} + C$

## À retenir

- L'intégrale de $\ln x$ est $x\ln x - x + C$, que l'on peut aussi écrire $x(\ln x - 1) + C$.
- On intègre par parties avec $u = \ln x$ et $dv = dx$. L'intégrale restante est simplement $\int 1\,dx$.
- Le résultat n'est pas $\frac{1}{x}$. C'est la dérivée de $\ln x$.
- En répétant l'astuce, on traite $(\ln x)^2$, $(\ln x)^3$, et ainsi de suite.

L'**intégrale de $\ln x$ est $x\ln x - x + C$**. Aucune règle inverse ne défait directement le logarithme, donc la méthode habituelle est une intégration par parties avec un facteur $1$ caché.

$$\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C$$

## Graphique de ln x et de sa primitive

```graph
title: 'y = ln x et sa primitive x ln x − x'
caption: 'L''aire hachurée de $1$ à $e$ vaut exactement $1$. La primitive en pointillés a son minimum en $x = 1$, là où $\ln x$ passe du négatif au positif.'
x: [-0.5, 5]
y: [-2.5, 3.5]
functions:
  - expr: ln(x)
    label: y = ln x
    domain: [0.05, 5]
  - expr: x*ln(x) - x
    label: y = x ln x − x (primitive)
    dashed: true
    domain: [0.01, 5]
shade:
  expr: ln(x)
  from: 1
  to: 2.71828
points:
  - [1, 0, '(1, 0)']
  - [1, -1, '(1, −1)']
```

## Comment intégrer ln x pas à pas

On utilise l'[intégration par parties](/rules/integration-by-parts-rule), $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.

1. **Écrire $\ln x$ comme un produit.** $\int\ln x\,dx = \int \ln x\cdot 1\,dx$.
2. **Choisir les facteurs.** $u = \ln x$ et $dv = dx$. Alors $du = \frac{1}{x}\,dx$ et $v = x$.
3. **Appliquer la formule.**
$$\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx$$
4. **Terminer.** $\int 1\,dx = x$, donc le résultat est $x\ln x - x + C$.

Pourquoi cela marche-t-il ? En dérivant $\ln x$, on obtient $\frac{1}{x}$, qui simplifie le $x$ venant de $v$. Dans l'ordre LIATE, les logarithmes viennent en premier, donc ils jouent presque toujours le rôle de $u$. Le [guide de l'intégration par parties](/blog/integration-by-parts) en dit plus sur le choix de $u$.

## Vérification par dérivation

Avec la [règle du produit](/rules/product-rule) et la [dérivée de ln x](/derivatives/ln-x) :

$$\frac{d}{dx}\left(x\ln x - x\right) = \ln x + x\cdot\frac{1}{x} - 1 = \ln x + 1 - 1 = \ln x$$

## Intégrales définies

**De 1 à e :**

$$\int_1^e\ln x\,dx = (e\cdot 1 - e) - (1\cdot 0 - 1) = 0 + 1 = 1$$

**De 1 à 2 :** $(2\ln 2 - 2) - (0 - 1) = 2\ln 2 - 1 \approx 0.386$.

**De 0 à 1 :** c'est une [intégrale impropre](/blog/improper-integrals), car $\ln x \to -\infty$ près de $0$. Avec la limite $x\ln x \to 0$ quand $x \to 0^+$ :

$$\int_0^1 \ln x\,dx = (0 - 1) - \lim_{a\to 0^+}(a\ln a - a) = -1$$

Le résultat est négatif car $\ln x < 0$ sur $(0, 1)$ : l'aire est sous l'axe.

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : une constante à l'intérieur.** $\int\ln(2x)\,dx$. On pose $u = 2x$, $dx = \frac{du}{2}$ :

$$\frac{1}{2}(u\ln u - u) + C = x\ln(2x) - x + C$$

**Exemple 2 : un logarithme décalé.** $\int\ln(x+1)\,dx$. On pose $u = x + 1$, $du = dx$ :

$$(x+1)\ln(x+1) - (x+1) + C$$

Le $-1$ peut être absorbé dans $C$, donc $(x+1)\ln(x+1) - x + C$ est aussi correct.

**Exemple 3 : un logarithme au carré.** $\int(\ln x)^2\,dx$. On prend $u = (\ln x)^2$, $dv = dx$, donc $du = \frac{2\ln x}{x}\,dx$ et $v = x$ :

$$\int(\ln x)^2\,dx = x(\ln x)^2 - 2\int\ln x\,dx = x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x + C$$

**Exemple 4 : une puissance de x à l'intérieur.** $\int\ln(x^3)\,dx = 3\int\ln x\,dx = 3x\ln x - 3x + C$, après la propriété $\ln(x^3) = 3\ln x$.

**Exemple 5 : base 10.** Comme $\log_{10}x = \frac{\ln x}{\ln 10}$, $\int\log_{10}x\,dx = \frac{x\ln x - x}{\ln 10} + C$.

## Erreurs fréquentes

1. **Répondre $\frac{1}{x}$.** C'est la dérivée de $\ln x$. L'intégrale de $\frac{1}{x}$ est $\ln\lvert x\rvert$ ; voir l'[intégrale de 1/x](/integrals/1-over-x).
2. **Choisir $u = 1$, $dv = \ln x\,dx$.** Il faudrait alors $\int\ln x\,dx$ pour trouver $v$, c'est-à-dire précisément ce que l'on cherche.
3. **Perdre le $-x$.** $x\ln x$ seul a pour dérivée $\ln x + 1$, soit un de trop.
4. **Confondre $\ln x$ et $\frac{\ln x}{x}$.** $\int\frac{\ln x}{x}\,dx = \frac{(\ln x)^2}{2} + C$ relève du [changement de variable](/rules/u-substitution-rule), pas de l'intégration par parties.

Pour un logarithme multiplié par une puissance de $x$, voir l'[intégrale de x ln x](/integrals/x-ln-x). Pour un logarithme au dénominateur, voir l'[intégrale de 1/(x ln x)](/integrals/1-over-x-ln-x).

## Questions fréquentes

### Quelle est l'intégrale de ln x ?

C'est $x\ln x - x + C$, pour $x > 0$.

### Quelle est l'intégrale de ln(2x) ?

C'est $x\ln(2x) - x + C$. Comme $\ln(2x) = \ln 2 + \ln x$, on peut aussi intégrer les morceaux et obtenir $x\ln 2 + x\ln x - x + C$, ce qui revient au même.

### Quelle est l'intégrale de (ln x)² ?

C'est $x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x + C$. On intègre par parties avec $u = (\ln x)^2$, $dv = dx$, puis on utilise l'intégrale de $\ln x$ pour le morceau restant.

### Combien vaut l'intégrale de ln x entre 0 et 1 ?

Elle vaut $-1$. Elle est impropre car $\ln x \to -\infty$ en $0$, mais $x\ln x \to 0$, donc l'intégrale vaut $(0 - 1) - 0 = -1$.