# Intégrale de √(1−x²) : formule, méthode et exemples

> L'intégrale de √(1−x²) vaut ½(x√(1−x²) + arcsin x) + C. Le changement de variable trigonométrique, le lien avec l'aire d'un disque et des exemples.

Source : https://practicecalculus.com/fr/integrales/integrale-de-racine-de-1-moins-x-carre
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \int \sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{1}{2}\left(x\sqrt{1-x^2} + \arcsin x\right) + C $$

## En bref

- **Primitive:** $\frac{1}{2}\left(x\sqrt{1-x^2} + \arcsin x\right) + C$
- **Forme générale:** $\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C$
- **Méthode:** Changement de variable $x = \sin\theta$, puis $\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$
- **De −1 à 1:** $\dfrac{\pi}{2}$, l'aire d'un demi-disque unité
- **De 0 à 1:** $\dfrac{\pi}{4}$, un quart de disque

## À retenir

- L'intégrale de $\sqrt{1-x^2}$ est $\frac{1}{2}\left(x\sqrt{1-x^2} + \arcsin x\right) + C$.
- La courbe $y = \sqrt{1-x^2}$ est le demi-cercle unité supérieur, donc $\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{\pi}{2}$.
- La méthode est un changement de variable trigonométrique : $x = \sin\theta$ transforme la racine en $\cos\theta$ et l'intégrale en $\int\cos^2\theta\,d\theta$.
- Pour un rayon $a$, $\int_{-a}^{a}\sqrt{a^2-x^2}\,dx = \frac{\pi a^2}{2}$, la moitié de l'aire d'un disque.

L'**intégrale de $\sqrt{1-x^2}$ est $\dfrac{1}{2}\left(x\sqrt{1-x^2} + \arcsin x\right) + C$**. C'est le premier exemple classique de changement de variable trigonométrique, et c'est ainsi que l'analyse démontre la formule de l'aire d'un disque.

$$\int \sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\arcsin x + C$$

Pour un cercle de rayon $a$ :

$$\int \sqrt{a^2-x^2}\,dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C$$

## Graphique : la moitié du cercle unité

```graph
title: 'y = √(1−x²) est la moitié supérieure du cercle unité'
caption: 'L''aire hachurée de $-1$ à $1$ est un demi-disque de rayon 1, elle vaut donc $\frac{\pi}{2} \approx 1.571$.'
x: [-1.6, 1.6]
y: [-0.6, 1.4]
functions:
  - expr: sqrt(1-x^2)
    label: y = √(1−x²)
    domain: [-1, 1]
shade:
  expr: sqrt(1-x^2)
  from: -1
  to: 1
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
  - [-1, 0, '(−1, 0)']
  - [1, 0, '(1, 0)']
```

## Comment intégrer √(1−x²) pas à pas

1. **Changer de variable.** Poser $x = \sin\theta$ avec $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$. Alors $dx = \cos\theta\,d\theta$ et $\sqrt{1-\sin^2\theta} = \cos\theta$, qui n'est pas négatif sur cet intervalle.
2. **Réécrire.**
$$\int \sqrt{1-x^2}\,dx = \int \cos\theta\cdot\cos\theta\,d\theta = \int \cos^2\theta\,d\theta$$
3. **Linéariser** avec $\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$, comme sur la page [intégrale de cos²x](/integrals/cos-squared-x) :
$$\int \cos^2\theta\,d\theta = \frac{\theta}{2} + \frac{\sin 2\theta}{4} + C = \frac{\theta}{2} + \frac{\sin\theta\cos\theta}{2} + C$$
4. **Revenir à $x$.** $\theta = \arcsin x$, $\sin\theta = x$ et $\cos\theta = \sqrt{1-x^2}$ :
$$\frac{1}{2}\arcsin x + \frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2} + C$$

La version générale utilise $x = a\sin\theta$ de la même façon. Le [guide du changement de variable trigonométrique](/blog/trig-substitution) traite les deux autres formes de racine, $\sqrt{a^2+x^2}$ et $\sqrt{x^2-a^2}$.

## Vérification par dérivation

On dérive chaque morceau. Avec la [règle du produit](/rules/product-rule) :

$$\frac{d}{dx}\left(x\sqrt{1-x^2}\right) = \sqrt{1-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}$$

et $\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$. En les additionnant :

$$\sqrt{1-x^2} + \frac{1 - x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \sqrt{1-x^2} + \sqrt{1-x^2} = 2\sqrt{1-x^2}$$

La moitié de cela vaut $\sqrt{1-x^2}$, comme prévu.

## Intégrales définies et aire d'un disque

Sur l'intervalle complet, le terme avec la racine s'annule aux deux bornes :

$$\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{1}{2}\left(\arcsin 1 - \arcsin(-1)\right) = \frac{1}{2}\cdot\pi = \frac{\pi}{2}$$

En doublant pour inclure la moitié inférieure, on obtient l'aire du disque unité, $\pi$. Avec un rayon $a$, les mêmes étapes donnent $\int_{-a}^{a}\sqrt{a^2-x^2}\,dx = \frac{\pi a^2}{2}$, donc un disque entier a pour aire $\pi a^2$.

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : une portion de disque.** Calculer $\int_0^{1/2}\sqrt{1-x^2}\,dx$.

$$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{\pi}{12} \approx 0.478$$

Interprétation géométrique : un secteur de $30^\circ$ d'aire $\frac{\pi}{12}$ plus un triangle d'aire $\frac{\sqrt{3}}{8}$.

**Exemple 2 : rayon 3.** $\int_{-3}^{3}\sqrt{9-x^2}\,dx = \frac{9\pi}{2}$, la moitié d'un disque de rayon 3. Aucun calcul de primitive n'est nécessaire une fois la forme reconnue.

**Exemple 3 : une primitive générale.** Avec $a = 2$ :

$$\int \sqrt{4-x^2}\,dx = \frac{x}{2}\sqrt{4-x^2} + 2\arcsin\frac{x}{2} + C$$

**Exemple 4 : cercle décalé.** $\int_0^2\sqrt{2x - x^2}\,dx$. Forme canonique : $2x - x^2 = 1 - (x-1)^2$. C'est le demi-cercle unité centré en $x = 1$, donc le résultat vaut $\frac{\pi}{2}$.

## Erreurs fréquentes

1. **Essayer $u = 1 - x^2$.** Il faudrait un $x\,dx$ pour correspondre à $du$, et il n'y en a pas.
2. **Oublier de revenir à la variable de départ.** Un résultat en $\theta$ n'est pas terminé. Utilisez un triangle rectangle de côté opposé $x$ et d'hypoténuse $1$ pour lire $\cos\theta = \sqrt{1-x^2}$.
3. **Oublier le $\frac{a^2}{2}$.** Dans la formule générale, le terme en arcsin porte $\frac{a^2}{2}$, et non $\frac{1}{2}$.
4. **La confondre avec $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.** Celle-ci s'intègre directement en $\arcsin x$ ; voir l'[intégrale de 1/√(1−x²)](/integrals/1-over-sqrt-1-minus-x-squared).

## Questions fréquentes

### Quelle est l'intégrale de √(1−x²) ?

C'est $\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\arcsin x + C$, valable pour $-1 \le x \le 1$.

### Quelle est l'intégrale de √(a²−x²) ?

C'est $\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C$. Pour $a = 2$, on obtient $\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2} + 2\arcsin\frac{x}{2} + C$.

### Pourquoi l'intégrale de √(1−x²) entre −1 et 1 vaut-elle π/2 ?

Parce que $y = \sqrt{1-x^2}$ décrit la moitié supérieure du cercle $x^2 + y^2 = 1$. L'aire sous la courbe est la moitié de $\pi r^2$ avec $r = 1$, soit $\frac{\pi}{2}$.

### Peut-on intégrer √(1−x²) par un changement de variable simple ?

Non. Il n'y a pas de $x$ hors de la racine pour fournir $du$. Le simple $u = 1 - x^2$ échoue, c'est pourquoi il faut un changement de variable trigonométrique.