# Intégrale de √x : formule, démonstration et exemples

> L'intégrale de √x vaut (2/3)x^(3/2) + C. Écrire la racine comme une puissance, vérifier en dérivant, et des exemples avec √(ax + b), 1/√x et des bornes.

Source : https://practicecalculus.com/fr/integrales/integrale-de-racine-de-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \int \sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + C $$

## En bref

- **Primitive:** $\dfrac{2}{3}x^{3/2} + C = \dfrac{2}{3}x\sqrt{x} + C$
- **D''abord réécrire:** $\sqrt{x} = x^{1/2}$
- **Domaine de définition:** $x \ge 0$
- **Intégrale associée:** $\int \dfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx = 2\sqrt{x} + C$
- **Vérification:** $\dfrac{d}{dx}\dfrac{2}{3}x^{3/2} = x^{1/2}$

## À retenir

- L'intégrale de $\sqrt{x}$ est $\frac{2}{3}x^{3/2} + C$.
- Réécrivez toujours les racines comme des puissances fractionnaires, $\sqrt{x} = x^{1/2}$, avant d'appliquer la règle de la puissance inverse.
- Diviser par $\frac{3}{2}$ revient à multiplier par $\frac{2}{3}$.
- L'intégrale de $\frac{1}{\sqrt{x}}$ est $2\sqrt{x} + C$, un résultat à retenir.

L'**intégrale de $\sqrt{x}$ est $\dfrac{2}{3}x^{3/2} + C$**. L'astuce consiste à écrire d'abord la racine carrée comme une puissance.

$$\int \sqrt{x}\,dx = \int x^{1/2}\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$$

## Graphique de √x et de l'aire sous la courbe

```graph
title: 'Aire sous y = √x de 0 à 4, avec la primitive y = (2/3)x^(3/2)'
caption: 'L''aire hachurée vaut $\frac{16}{3} \approx 5.33$. La primitive en pointillés atteint $\frac{16}{3}$ en $x = 4$.'
x: [-0.5, 5]
y: [-0.5, 7.5]
functions:
  - expr: sqrt(x)
    label: y = √x
    domain: [0, 5]
  - expr: (2/3)x^(3/2)
    label: y = (2/3)x^(3/2) (primitive)
    dashed: true
    domain: [0, 5]
shade: {expr: sqrt(x), from: 0, to: 4}
points:
  - [4, 5.333, '(4, 16/3)']
```

La région hachurée tient dans un rectangle de $4$ sur $2$, d'aire $8$. Elle en remplit exactement les deux tiers, et c'est de là que vient le $\frac{2}{3}$.

## Démonstration pas à pas

1. Réécrire la racine : $\sqrt{x} = x^{1/2}$.
2. Appliquer la [règle de la puissance inverse](/rules/reverse-power-rule) avec $n = \frac{1}{2}$.
3. Ajouter un à l'exposant : $\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$.
4. Diviser par $\frac{3}{2}$, c'est-à-dire multiplier par $\frac{2}{3}$ : $\frac{2}{3}x^{3/2}$.
5. Ajouter $C$.

## Une seconde démonstration : l'aire par tranches horizontales

Il existe une jolie façon de voir le $\frac{2}{3}$ sans aucune règle. La courbe $y = \sqrt{x}$ est la même que $x = y^2$ pour $y \ge 0$. Tracez le rectangle de $(0, 0)$ à $(b, \sqrt{b})$. La courbe le coupe en deux. La partie entre la courbe et l'axe des $y$ est l'aire sous $x = y^2$ de $y = 0$ à $y = \sqrt{b}$, qui vaut $\frac{(\sqrt{b})^3}{3}$ d'après l'[intégrale de x²](/integrals/x-squared). Le rectangle entier vaut $b\sqrt{b}$, donc l'aire sous $\sqrt{x}$ est ce qui reste :

$$b\sqrt{b} - \frac{b\sqrt{b}}{3} = \frac{2}{3}b^{3/2}$$

Cela correspond à la formule. On voit aussi pourquoi les deux aires sont dans le rapport $1 : 2$.

## Vérification par dérivation

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{2}{3}x^{3/2}\right) = \frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}x^{1/2} = \sqrt{x} \checkmark$$

La règle dans le sens direct se trouve sur la page [dérivée de √x](/derivatives/sqrt-x).

## Autres racines et puissances de x

La même méthode fonctionne pour toute racine. On réécrit, puis on augmente l'exposant et on divise :

| Fonction à intégrer | Sous forme de puissance | Intégrale |
| --- | --- | --- |
| $\sqrt{x}$ | $x^{1/2}$ | $\frac{2}{3}x^{3/2} + C$ |
| $\frac{1}{\sqrt{x}}$ | $x^{-1/2}$ | $2x^{1/2} + C$ |
| $x\sqrt{x}$ | $x^{3/2}$ | $\frac{2}{5}x^{5/2} + C$ |
| $\sqrt[3]{x}$ | $x^{1/3}$ | $\frac{3}{4}x^{4/3} + C$ |
| $\frac{x + 1}{\sqrt{x}}$ | $x^{1/2} + x^{-1/2}$ | $\frac{2}{3}x^{3/2} + 2x^{1/2} + C$ |

## Variante par changement de variable : intégrale de √(ax + b)

Posons $u = ax + b$, donc $du = a\,dx$ :

$$\int \sqrt{ax + b}\,dx = \frac{1}{a}\int u^{1/2}\,du = \frac{2}{3a}(ax + b)^{3/2} + C$$

Par exemple, $\int \sqrt{3x + 2}\,dx = \frac{2}{9}(3x + 2)^{3/2} + C$. Vérification : $\frac{2}{9}\cdot\frac{3}{2}(3x+2)^{1/2}\cdot 3 = \sqrt{3x + 2}$.

Un classique : $\int x\sqrt{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{3}(x^2 + 1)^{3/2} + C$, avec $u = x^2 + 1$.

## Exemples d'intégrales définies

**Exemple 1.** $\int_1^9 \sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}\left(9^{3/2} - 1^{3/2}\right) = \frac{2}{3}(27 - 1) = \frac{52}{3}$.

**Exemple 2.** $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \Big[2\sqrt{x}\Big]_0^1 = 2$. C'est une intégrale impropre, car $\frac{1}{\sqrt{x}}$ tend vers l'infini en $0$, mais l'aire reste finie.

**Exemple 3.** $\int_0^4 (\sqrt{x} - 1)\,dx = \frac{16}{3} - 4 = \frac{4}{3}$.

## Erreurs fréquentes

1. **Appliquer la règle de la puissance directement au symbole racine.** Écrivez d'abord $x^{1/2}$.
2. **Diviser par $\frac{1}{2}$ au lieu de $\frac{3}{2}$.** On divise par le nouvel exposant, pas par l'ancien.
3. **Écrire $\frac{3}{2}x^{3/2}$.** Diviser par $\frac{3}{2}$ donne $\frac{2}{3}$, pas $\frac{3}{2}$.
4. **Intégrer $\sqrt{x^2 + 1}$ comme $\sqrt{x}$.** Avec une expression intérieure non affine et sans facteur correspondant, le changement de variable simple échoue. Cette intégrale demande un [changement de variable trigonométrique](/blog/trig-substitution).

Entraînez-vous avec les [exercices sur les primitives](/practice-problems/antiderivatives).

## Questions fréquentes

### Quelle est l'intégrale de √x ?

L'intégrale de $\sqrt{x}$ est $\frac{2}{3}x^{3/2} + C$, que l'on peut aussi écrire $\frac{2}{3}x\sqrt{x} + C$.

### Quelle est l'intégrale de 1/√x ?

C'est $2\sqrt{x} + C$. On écrit $\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$, on augmente l'exposant jusqu'à $\frac{1}{2}$ et on divise par $\frac{1}{2}$.

### Combien vaut l'intégrale de √x entre 0 et 4 ?

Elle vaut $\frac{2}{3}\cdot 4^{3/2} = \frac{2}{3}\cdot 8 = \frac{16}{3}$.

### Quelle est l'intégrale de x√x ?

On regroupe d'abord les puissances : $x\sqrt{x} = x^{3/2}$, donc l'intégrale vaut $\frac{2}{5}x^{5/2} + C$.