# Intégrale de sec² x (1/cos² x) : formule et exemples

> L'intégrale de sec² x = 1/cos² x vaut tan x + C. Pourquoi cela découle de la dérivée de tan x, la forme sec²(ax), tan² x, csc² x et des exemples.

Source : https://practicecalculus.com/fr/integrales/integrale-de-sec-carre-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \int \sec^2 x\,dx = \tan x + C $$

## En bref

- **Primitive:** $\tan x + C$
- **Aussi écrit:** $\int\dfrac{1}{\cos^2 x}\,dx = \tan x + C$
- **Forme affine:** $\int\sec^2(ax + b)\,dx = \dfrac{1}{a}\tan(ax + b) + C$
- **Version cosécante:** $\int\csc^2 x\,dx = -\cot x + C$
- **De 0 à π/4:** $1$

## À retenir

- L'intégrale de $\sec^2 x$ est $\tan x + C$, car la dérivée de $\tan x$ est $\sec^2 x$.
- La règle de la puissance ne s'applique pas : $\int\sec^2 x\,dx$ ne vaut pas $\frac{\sec^3 x}{3}$.
- Pour $\sec^2(ax)$, on divise par $a$.
- L'identité $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ ramène $\int\tan^2 x\,dx$ à cette intégrale.

L'**intégrale de $\sec^2 x$ est $\tan x + C$**. Ici sec² x désigne 1/cos² x, que l'on écrit aussi 1 + tan² x. C'est simplement la dérivée de $\tan x$ lue à l'envers : il n'y a rien à calculer, seulement un résultat à reconnaître.

$$\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$$

## Graphique de sec² x et de sa primitive

```graph
title: 'Aire sous y = sec² x de 0 à π/4, avec la primitive y = tan x'
caption: 'L''aire hachurée vaut $\tan\frac{\pi}{4} - \tan 0 = 1$. La courbe en pointillés $y = \tan x$ est la plus raide là où $\sec^2 x$ est la plus grande, près des asymptotes.'
x: [-1.6, 1.6]
y: [-3, 5]
functions:
  - expr: sec(x)^2
    label: y = sec² x
    domain: [-1.1, 1.1]
  - expr: tan(x)
    label: y = tan x (primitive)
    dashed: true
    domain: [-1.37, 1.37]
shade: {expr: sec(x)^2, from: 0, to: 0.7854}
points:
  - [0.7854, 1, '(π/4, 1)']
  - [0, 1, 'pente 1']
```

La plus petite valeur de $\sec^2 x$ est $1$, en $x = 0$. Cela correspond à la pente de $\tan x$ à l'origine.

## Démonstration

1. Se rappeler la [dérivée de tan x](/derivatives/tan-x) : $\frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x$.
2. Donc $\tan x$ est une primitive de $\sec^2 x$.
3. Ajouter $C$ : $\int\sec^2 x\,dx = \tan x + C$.

Si vous avez oublié pourquoi $\frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x$, appliquez la [règle du quotient](/rules/quotient-rule) à $\frac{\sin x}{\cos x}$ :

$$\frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$$

## Vérification par dérivation

$$\frac{d}{dx}(\tan x + C) = \sec^2 x \checkmark$$

## Intégrales définies

$$\int_0^{\pi/4}\sec^2 x\,dx = 1, \qquad \int_0^{\pi/3}\sec^2 x\,dx = \sqrt{3}, \qquad \int_{-\pi/4}^{\pi/4}\sec^2 x\,dx = 2$$

Tout intervalle qui atteint $\pm\frac{\pi}{2}$ donne une intégrale impropre divergente, car $\tan x \to \infty$.

## Variantes par changement de variable

$$\int\sec^2(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}\tan(ax + b) + C$$

**Exemple 1.** $\int\sec^2(5x)\,dx = \frac{1}{5}\tan(5x) + C$.

**Exemple 2.** $\int x\sec^2(x^2)\,dx = \frac{1}{2}\tan(x^2) + C$, avec $u = x^2$.

**Exemple 3.** $\int\sec^2 x\,e^{\tan x}\,dx = e^{\tan x} + C$, avec $u = \tan x$.

**Exemple 4.** $\int\frac{\sec^2 x}{\tan x}\,dx = \ln\lvert\tan x\rvert + C$, car le numérateur est la dérivée du dénominateur.

## Intégrales voisines

Les intégrales trigonométriques « carrés » et « produits » découlent directement des dérivées trigonométriques :

| Intégrale | Résultat | Provient de |
| --- | --- | --- |
| $\int\sec^2 x\,dx$ | $\tan x + C$ | $(\tan x)' = \sec^2 x$ |
| $\int\csc^2 x\,dx$ | $-\cot x + C$ | $(\cot x)' = -\csc^2 x$ |
| $\int\sec x\tan x\,dx$ | $\sec x + C$ | $(\sec x)' = \sec x\tan x$ |
| $\int\csc x\cot x\,dx$ | $-\csc x + C$ | $(\csc x)' = -\csc x\cot x$ |
| $\int\tan^2 x\,dx$ | $\tan x - x + C$ | $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ |

La dernière ligne est détaillée sur la page [intégrale de tan² x](/integrals/tan-squared-x), et la troisième sur la page [intégrale de sec x tan x](/integrals/sec-x-tan-x).

## Exemple corrigé : deux réponses correctes

Calculer $\int\sec^2 x\tan x\,dx$.

- Avec $u = \tan x$, $du = \sec^2 x\,dx$ : le résultat est $\frac{\tan^2 x}{2} + C$.
- Avec $u = \sec x$, $du = \sec x\tan x\,dx$ : la fonction s'écrit $\sec x\cdot(\sec x\tan x)$, donc le résultat est $\frac{\sec^2 x}{2} + C$.

Les deux sont justes. Comme $\sec^2 x = \tan^2 x + 1$, les deux réponses ne diffèrent que de la constante $\frac{1}{2}$, que $C$ absorbe.

## Erreurs fréquentes

1. **Utiliser la règle de la puissance : $\frac{\sec^3 x}{3}$.** La règle de la puissance exige que la dérivée de l'intérieur, $\sec x\tan x$, soit présente. Elle ne l'est pas.
2. **Répondre $2\sec x\cdot\sec x\tan x$.** C'est la dérivée de $\sec^2 x$.
3. **La confondre avec $\int\sec x\,dx$.** Celle-ci vaut $\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$. Voir l'[intégrale de sec x](/integrals/sec-x).
4. **Oublier de diviser par $a$** dans $\int\sec^2(ax)\,dx$.

Entraînez-vous avec les [exercices sur les intégrales trigonométriques](/practice-problems/trig-integrals).

## Questions fréquentes

### Quelle est l'intégrale de sec² x ?

L'intégrale de $\sec^2 x$ est $\tan x + C$.

### Quelle est l'intégrale de 1/cos² x ?

Comme $\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$, c'est $\tan x + C$.

### Quelle est l'intégrale de sec²(3x) ?

C'est $\frac{1}{3}\tan(3x) + C$.

### Quelle est l'intégrale de sec² x tan x ?

Avec $u = \tan x$, c'est $\frac{\tan^2 x}{2} + C$. Avec $u = \sec x$, on obtient $\frac{\sec^2 x}{2} + C$. Les deux sont correctes, car elles diffèrent de la constante $\frac{1}{2}$.