# Intégrale de sec³ x (1/cos³ x) : formule, démonstration et exemples > L'intégrale de sec³ x vaut ½(sec x tan x + ln|sec x + tan x|) + C. La boucle d'intégration par parties pas à pas, la vérification et la longueur d'arc. Source : https://practicecalculus.com/fr/integrales/integrale-de-sec-cube-x Mis à jour : 2026-11-06 $$ \int \sec^3 x\,dx = \frac{1}{2}\left(\sec x\tan x + \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert\right) + C $$ ## En bref - **Primitive:** $\dfrac{1}{2}\sec x\tan x + \dfrac{1}{2}\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$ - **Méthode:** Intégration par parties avec $u = \sec x$, $dv = \sec^2 x\,dx$ - **Identité clé:** $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ - **De 0 à π/4:** $\dfrac{\sqrt{2} + \ln(1 + \sqrt{2})}{2} \approx 1.148$ - **Formule de récurrence:** $\int\sec^n x\,dx = \dfrac{\sec^{n-2}x\tan x}{n - 1} + \dfrac{n - 2}{n - 1}\int\sec^{n-2}x\,dx$ ## À retenir - L'intégrale de $\sec^3 x$ est $\frac{1}{2}\left(\sec x\tan x + \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert\right) + C$. - On intègre une fois par parties, on utilise $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$, et l'intégrale de départ réapparaît à droite. - On la fait passer à gauche et on divise par $2$. Cette astuce de la boucle marche aussi pour $\int e^x\sin x\,dx$. - Elle apparaît dès qu'on intègre $\sqrt{1 + x^2}$, par exemple pour la longueur d'un arc de parabole. L'**intégrale de $\sec^3 x$ est $\dfrac{1}{2}\left(\sec x\tan x + \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert\right) + C$**, où sec x désigne 1/cos x. C'est l'exemple classique d'intégration par parties où l'intégrale revient en boucle et où l'on résout une équation pour la trouver. $$\int \sec^3 x\,dx = \frac{1}{2}\sec x\tan x + \frac{1}{2}\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$$ ## Graphique de sec³ x et de l'aire sous la courbe ```graph title: 'Aire sous y = sec³ x de 0 à π/4' caption: 'L''aire hachurée vaut $\frac{\sqrt{2} + \ln(1 + \sqrt{2})}{2} \approx 1.148$. La fonction croît très vite vers l''asymptote en $x = \frac{\pi}{2}$.' x: [-1.6, 1.6] y: [-0.5, 6] functions: - expr: sec(x)^3 label: y = sec³ x domain: [-1.05, 1.05] - expr: sec(x) label: y = sec x (pour comparaison) dashed: true domain: [-1.3, 1.3] shade: {expr: sec(x)^3, from: 0, to: 0.7854} points: - [0, 1, '(0, 1)'] - [0.7854, 2.828, '(π/4, 2√2)'] ``` ## Démonstration par parties, pas à pas Notons l'intégrale $I = \int\sec^3 x\,dx$. 1. Écrire $\sec^3 x = \sec x\cdot\sec^2 x$ et appliquer l'[intégration par parties](/rules/integration-by-parts-rule) avec $$u = \sec x,\quad dv = \sec^2 x\,dx,\qquad du = \sec x\tan x\,dx,\quad v = \tan x$$ 2. Appliquer $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ : $$I = \sec x\tan x - \int\sec x\tan^2 x\,dx$$ 3. Remplacer $\tan^2 x$ par $\sec^2 x - 1$ : $$I = \sec x\tan x - \int\sec^3 x\,dx + \int\sec x\,dx = \sec x\tan x - I + \int\sec x\,dx$$ 4. L'intégrale de départ $I$ est apparue à droite. On ajoute $I$ aux deux membres : $$2I = \sec x\tan x + \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert$$ 5. Diviser par $2$ et ajouter $C$. L'étape 4 utilise l'[intégrale de sec x](/integrals/sec-x). Le choix $dv = \sec^2 x\,dx$ fonctionne parce que $\sec^2 x$ est le seul morceau facile à intégrer, en $\tan x$. Le [guide de l'intégration par parties](/blog/integration-by-parts) donne d'autres exemples de cette boucle. ## Vérification par dérivation D'abord, avec la [règle du produit](/rules/product-rule) : $$\frac{d}{dx}(\sec x\tan x) = \sec x\tan x\cdot\tan x + \sec x\cdot\sec^2 x = \sec x\tan^2 x + \sec^3 x$$ En remplaçant $\tan^2 x$ par $\sec^2 x - 1$, on obtient $2\sec^3 x - \sec x$. Le terme logarithmique se dérive en $\sec x$. Donc $$\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2}\sec x\tan x + \frac{1}{2}\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert\right] = \frac{1}{2}\left(2\sec^3 x - \sec x + \sec x\right) = \sec^3 x \checkmark$$ ## Intégrale définie En $x = \frac{\pi}{4}$ : $\sec = \sqrt{2}$, $\tan = 1$. En $x = 0$ : $\sec = 1$, $\tan = 0$, et $\ln 1 = 0$. Donc $$\int_0^{\pi/4}\sec^3 x\,dx = \frac{1}{2}\left(\sqrt{2} + \ln(\sqrt{2} + 1)\right) \approx 1.148$$ ## Application : intégrale de √(1 + x²) et longueur d'arc Posons $x = \tan\theta$, $dx = \sec^2\theta\,d\theta$. Alors $\sqrt{1 + x^2} = \sec\theta$ et $$\int\sqrt{1 + x^2}\,dx = \int\sec^3\theta\,d\theta = \frac{1}{2}x\sqrt{1 + x^2} + \frac{1}{2}\ln\left(x + \sqrt{1 + x^2}\right) + C$$ La longueur de l'arc de parabole $y = \frac{x^2}{2}$ de $x = 0$ à $x = 1$ vaut $\int_0^1\sqrt{1 + x^2}\,dx$, c'est-à-dire exactement l'aire hachurée ci-dessus : environ $1.148$. Pour en savoir plus, voir la leçon sur la [longueur d'arc et l'aire de surface](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/arc-length-and-surface-area). ## La formule de récurrence Les mêmes étapes avec $\sec^n x$ donnent $$\int\sec^n x\,dx = \frac{\sec^{n-2}x\tan x}{n - 1} + \frac{n - 2}{n - 1}\int\sec^{n-2}x\,dx$$ Avec $n = 3$, c'est notre résultat. Avec $n = 5$, elle ramène $\sec^5 x$ à $\sec^3 x$, que vous savez maintenant intégrer. ## Erreurs fréquentes 1. **Utiliser la règle de la puissance : $\frac{\sec^4 x}{4}$.** Sa dérivée vaut $\sec^4 x\tan x$, pas $\sec^3 x$. 2. **Choisir $u = \sec^2 x$, $dv = \sec x\,dx$.** Alors $v = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert$, et la nouvelle intégrale est bien plus difficile. 3. **Oublier de diviser par $2$** après avoir regroupé les termes en $I$. 4. **Perdre le terme logarithmique.** Le $\int\sec x\,dx$ de l'étape 3 s'oublie facilement. Entraînez-vous avec les [exercices sur l'intégration par parties](/practice-problems/integration-by-parts). ## Questions fréquentes ### Quelle est l'intégrale de sec³ x ? C'est $\frac{1}{2}\sec x\tan x + \frac{1}{2}\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$. ### Pourquoi ne peut-on pas utiliser la règle de la puissance sur sec³ x ? La règle de la puissance pour $\int u^3\,du$ exige que $du = \sec x\tan x\,dx$ figure dans l'intégrale. Ce n'est pas le cas, il faut donc intégrer par parties. ### Quelle est l'intégrale de √(1 + x²) ? Avec $x = \tan\theta$, elle devient $\int\sec^3\theta\,d\theta$. Le résultat est $\frac{1}{2}x\sqrt{1 + x^2} + \frac{1}{2}\ln\left(x + \sqrt{1 + x^2}\right) + C$. ### Combien vaut l'intégrale de sec³ x entre 0 et π/4 ? Elle vaut $\frac{1}{2}\left(\sqrt{2} + \ln(1 + \sqrt{2})\right) \approx 1.148$.