# Intégrale de sec x tan x (sin x/cos² x) : formule et exemples

> L'intégrale de sec x tan x vaut sec x + C, soit 1/cos x + C. Pourquoi elle inverse la dérivée de sec x, la forme sin x/cos² x, et des exemples.

Source : https://practicecalculus.com/fr/integrales/integrale-de-sec-x-tan-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \int \sec x\tan x\,dx = \sec x + C $$

## En bref

- **Primitive:** $\sec x + C$
- **Équivaut à:** $\int\dfrac{\sin x}{\cos^2 x}\,dx = \sec x + C$
- **Forme affine:** $\int\sec(ax)\tan(ax)\,dx = \dfrac{1}{a}\sec(ax) + C$
- **Version cosécante:** $\int\csc x\cot x\,dx = -\csc x + C$
- **De 0 à π/3:** $1$

## À retenir

- L'intégrale de $\sec x\tan x$ est $\sec x + C$, car la dérivée de $\sec x$ est $\sec x\tan x$.
- Elle apparaît souvent déguisée en $\frac{\sin x}{\cos^2 x}$.
- C'est la clé des changements de variable avec $u = \sec x$, comme $\int\sec^3 x\tan x\,dx$.
- Sa jumelle est $\int\csc x\cot x\,dx = -\csc x + C$, avec un signe moins.

L'**intégrale de $\sec x\tan x$ est $\sec x + C$**, où sec x désigne 1/cos x. C'est l'inverse de l'une des six dérivées trigonométriques de base, et il vaut la peine de la reconnaître au premier coup d'œil.

$$\int \sec x\tan x\,dx = \sec x + C$$

## Graphique de sec x tan x et de sa primitive

```graph
title: 'Aire sous y = sec x tan x de 0 à π/3, avec la primitive y = sec x'
caption: 'L''aire hachurée vaut $\sec\frac{\pi}{3} - \sec 0 = 2 - 1 = 1$. La courbe en pointillés $y = \sec x$ a son minimum en $x = 0$, exactement là où $\sec x\tan x$ s''annule.'
x: [-1.6, 1.6]
y: [-4, 5]
functions:
  - expr: sec(x)tan(x)
    label: y = sec x tan x
    domain: [-1.2, 1.2]
  - expr: sec(x)
    label: y = sec x (primitive)
    dashed: true
    domain: [-1.35, 1.35]
shade: {expr: sec(x)tan(x), from: 0, to: 1.0472}
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
  - [1.0472, 2, '(π/3, 2)']
```

$\sec x\tan x$ est une fonction impaire, donc sa primitive $\sec x$ est paire.

## Démonstration

1. Se rappeler la [dérivée de sec x](/derivatives/sec-x) : $\frac{d}{dx}\sec x = \sec x\tan x$.
2. L'inverser : $\sec x$ est une primitive de $\sec x\tan x$.
3. Ajouter $C$.

Pour voir d'où vient cette dérivée, écrivez $\sec x = (\cos x)^{-1}$ et utilisez la [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule) :

$$\frac{d}{dx}(\cos x)^{-1} = -(\cos x)^{-2}\cdot(-\sin x) = \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \sec x\tan x$$

## Vérification par dérivation

$$\frac{d}{dx}(\sec x + C) = \sec x\tan x \checkmark$$

## La repérer quand elle est déguisée

L'intégrale n'arrive pas toujours sous cette étiquette. Chacune de ces fonctions est $\sec x\tan x$ :

| Fonction à intégrer | Réécriture | Intégrale |
| --- | --- | --- |
| $\frac{\sin x}{\cos^2 x}$ | $\frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}$ | $\sec x + C$ |
| $\frac{\tan x}{\cos x}$ | $\tan x\sec x$ | $\sec x + C$ |
| $\frac{\sin x}{1 - \sin^2 x}$ | $\frac{\sin x}{\cos^2 x}$ | $\sec x + C$ |

On peut aussi traiter directement la première ligne avec $u = \cos x$ : $\int\frac{\sin x}{\cos^2 x}\,dx = -\int u^{-2}\,du = u^{-1} + C = \sec x + C$.

## Intégrales définies

$$\int_0^{\pi/3}\sec x\tan x\,dx = 2 - 1 = 1, \qquad \int_0^{\pi/4}\sec x\tan x\,dx = \sqrt{2} - 1 \approx 0.414$$

Sur un intervalle symétrique comme $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$, l'intégrale vaut $0$, car la fonction est impaire.

## Variantes par changement de variable

$$\int\sec(ax + b)\tan(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}\sec(ax + b) + C$$

**Exemple 1.** $\int\sec(5x)\tan(5x)\,dx = \frac{1}{5}\sec(5x) + C$.

**Exemple 2 : puissances de sec.** Avec $u = \sec x$, $du = \sec x\tan x\,dx$ :

$$\int\sec^3 x\tan x\,dx = \int\sec^2 x\cdot(\sec x\tan x)\,dx = \int u^2\,du = \frac{\sec^3 x}{3} + C$$

**Exemple 3 : puissances impaires de tan.** $\int\tan^3 x\sec x\,dx = \int(\sec^2 x - 1)\sec x\tan x\,dx = \frac{\sec^3 x}{3} - \sec x + C$.

**Exemple 4 : la version cosécante.** $\int\csc x\cot x\,dx = -\csc x + C$, car $\frac{d}{dx}\csc x = -\csc x\cot x$.

## Erreurs fréquentes

1. **Intégrer chaque facteur séparément.** $\int\sec x\tan x\,dx$ ne vaut pas $\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert\cdot\ln\lvert\sec x\rvert$. L'intégrale d'un produit n'est pas le produit des intégrales.
2. **Répondre $\tan x$.** C'est l'intégrale de $\sec^2 x$. Voir l'[intégrale de sec² x](/integrals/sec-squared-x).
3. **Répondre $\csc x$ pour la version cosécante.** Il faut un signe moins : $-\csc x + C$.
4. **Ne pas voir le déguisement.** Essayez toujours de réécrire $\frac{\sin x}{\cos^2 x}$ avant de sortir une méthode plus lourde.

Entraînez-vous avec les [exercices sur les intégrales trigonométriques](/practice-problems/trig-integrals).

## Questions fréquentes

### Quelle est l'intégrale de sec x tan x ?

L'intégrale de $\sec x\tan x$ est $\sec x + C$.

### Quelle est l'intégrale de sin x / cos² x ?

Comme $\frac{\sin x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x} = \sec x\tan x$, l'intégrale vaut $\sec x + C$.

### Quelle est l'intégrale de sec(2x) tan(2x) ?

C'est $\frac{1}{2}\sec(2x) + C$.

### Quelle est l'intégrale de csc x cot x ?

C'est $-\csc x + C$, car la dérivée de $\csc x$ est $-\csc x\cot x$.